Номер 1.396, страница 127 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.396. Известно, что $\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=\frac{5}{13}$ и $\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}$. Найдите $\operatorname{tg}\alpha$.

Для решения задачи воспользуемся формулами приведения и основным тригонометрическим тождеством.

1. Сначала упростим выражение $ \sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) $. Согласно формуле приведения, так как угол $ \frac{3\pi}{2} $ находится на вертикальной оси единичной окружности, функция синус меняется на кофункцию, то есть косинус. Знак определяется по знаку исходной функции в той четверти, где находится угол $ \frac{3\pi}{2} - \alpha $. Этот угол находится в III четверти, где синус отрицателен. Таким образом, получаем:

$ \sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\cos\alpha $

2. Теперь мы можем найти значение $ \cos\alpha $, используя данное в условии равенство:

$ \sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = \frac{5}{13} $

$ -\cos\alpha = \frac{5}{13} $

$ \cos\alpha = -\frac{5}{13} $

3. По условию угол $ \alpha $ принадлежит промежутку $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $, что соответствует III координатной четверти. В этой четверти косинус отрицателен, что согласуется с найденным нами значением.

4. Для нахождения $ \tan\alpha $ нам также потребуется значение $ \sin\alpha $. Найдем его с помощью основного тригонометрического тождества $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $:

$ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha $

$ \sin^2\alpha = 1 - \left(-\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169} $

Отсюда $ \sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13} $. Поскольку угол $ \alpha $ находится в III четверти, синус этого угла отрицателен. Следовательно:

$ \sin\alpha = -\frac{12}{13} $

5. Теперь мы можем найти $ \tan\alpha $ по определению: $ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $.

$ \tan\alpha = \frac{-\frac{12}{13}}{-\frac{5}{13}} = \frac{12}{5} $

6. Преобразуем неправильную дробь $ \frac{12}{5} $ в смешанное число, выделив целую часть:

$ \frac{12}{5} = \frac{10 + 2}{5} = 2\frac{2}{5} $

Найдите tg α. Ответ: $2\frac{2}{5}$