Номер 1.400, страница 128 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.400*. Найдите значение выражения $ \frac{3\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) - 2\cos(\pi - \alpha)}{2\sin(\pi + \alpha) - 3\cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)} $, если $\text{ctg} \alpha = 5$.

Для нахождения значения выражения сначала упростим его, используя формулы приведения.

Исходное выражение:

$$ \frac{3\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) - 2\cos(\pi - \alpha)}{2\sin(\pi + \alpha) - 3\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha)} $$

Применим формулы приведения для каждого тригонометрического члена в выражении:

1. Упрощение числителя:
   • $ \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos\alpha $. (Угол $ \frac{\pi}{2} - \alpha $ находится в I четверти, где синус положителен. Так как в формуле присутствует $ \frac{\pi}{2} $, функция синус меняется на косинус).
   • $ \cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha $. (Угол $ \pi - \alpha $ находится во II четверти, где косинус отрицателен. Функция не меняется).

   Подставляем упрощенные значения в числитель:

   $$ 3(\cos\alpha) - 2(-\cos\alpha) = 3\cos\alpha + 2\cos\alpha = 5\cos\alpha $$

2. Упрощение знаменателя:
   • $ \sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha $. (Угол $ \pi + \alpha $ находится в III четверти, где синус отрицателен. Функция не меняется).
   • $ \cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin\alpha $. (Угол $ \frac{3\pi}{2} - \alpha $ находится в III четверти, где косинус отрицателен. Так как в формуле присутствует $ \frac{3\pi}{2} $, функция косинус меняется на синус).

   Подставляем упрощенные значения в знаменатель:

   $$ 2(-\sin\alpha) - 3(-\sin\alpha) = -2\sin\alpha + 3\sin\alpha = \sin\alpha $$

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в исходное выражение:

$$ \frac{5\cos\alpha}{\sin\alpha} $$

Мы знаем, что определение котангенса $ \ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $.

Следовательно, наше выражение можно записать как:

$$ 5 \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = 5 \cdot \ctg\alpha $$

По условию задачи дано, что $ \ctg\alpha = 5 $. Подставим это значение:

$$ 5 \cdot 5 = 25 $$

1.400* Ответ: 25