Номер 1.403, страница 128 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.403. Найдите значение выражения:

а) $ \frac{5^{13} \cdot (5^{10})^2}{5^{31}} $;

б) $ \frac{12^8}{27^2 \cdot 2^{15}} $.

а) Для нахождения значения выражения $\frac{5^{13} \cdot (5^{10})^2}{5^{31}}$ необходимо последовательно применить свойства степеней.

1. Сначала упростим числитель. Используем правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ для выражения в скобках:
   $(5^{10})^2 = 5^{10 \cdot 2} = 5^{20}$
2. Теперь числитель имеет вид $5^{13} \cdot 5^{20}$. Применим правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
   $5^{13} \cdot 5^{20} = 5^{13+20} = 5^{33}$
3. Подставим полученное значение в исходное выражение. Теперь оно выглядит так: $\frac{5^{33}}{5^{31}}$.
4. Применим правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
   $\frac{5^{33}}{5^{31}} = 5^{33-31} = 5^2$
5. Вычислим конечный результат:
   $5^2 = 25$

Ответ: 25

б) Для нахождения значения выражения $\frac{12^8}{27^2 \cdot 2^{15}}$ необходимо разложить основания степеней на простые множители и затем применить свойства степеней.

1. Разложим числа 12 и 27 на простые множители:
   $12 = 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
   $27 = 3 \cdot 9 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3$
2. Подставим эти разложения в исходное выражение:
   $\frac{(2^2 \cdot 3)^8}{(3^3)^2 \cdot 2^{15}}$
3. Раскроем скобки, используя правила возведения произведения в степень $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
   Числитель: $(2^2 \cdot 3)^8 = (2^2)^8 \cdot 3^8 = 2^{16} \cdot 3^8$
   Знаменатель: $(3^3)^2 \cdot 2^{15} = 3^6 \cdot 2^{15}$
4. Выражение примет вид:
   $\frac{2^{16} \cdot 3^8}{3^6 \cdot 2^{15}}$
5. Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим правило деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
   $\frac{2^{16}}{2^{15}} \cdot \frac{3^8}{3^6} = 2^{16-15} \cdot 3^{8-6} = 2^1 \cdot 3^2$
6. Вычислим конечный результат:
   $2 \cdot 9 = 18$

Ответ: 18