Номер 1.409, страница 128 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.409. В прямоугольном треугольнике отношение одного из катетов к гипотенузе равно 0,6. Найдите отношение другого катета к гипотенузе.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, а гипотенузу как $c$.

По условию задачи, отношение одного из катетов к гипотенузе равно 0,6. Пусть это будет катет $a$. Тогда мы имеем соотношение:

$$ \frac{a}{c} = 0,6 $$

Нам необходимо найти отношение другого катета $b$ к гипотенузе $c$, то есть величину $ \frac{b}{c} $.

Для любого прямоугольного треугольника справедлива теорема Пифагора, которая связывает длины катетов и гипотенузы:

$$ a^2 + b^2 = c^2 $$

Чтобы перейти от длин сторон к их отношениям, разделим обе части этого уравнения на $c^2$ (так как $c$ — это длина гипотенузы, она не может быть равна нулю, $c \ne 0$):

$$ \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2} $$

Это уравнение можно переписать в следующем виде, используя свойства степеней:

$$ \left(\frac{a}{c}\right)^2 + \left(\frac{b}{c}\right)^2 = 1 $$

Теперь подставим известное нам из условия значение $ \frac{a}{c} = 0,6 $ в полученное уравнение:

$$ (0,6)^2 + \left(\frac{b}{c}\right)^2 = 1 $$

Вычислим квадрат числа 0,6:

$$ 0,36 + \left(\frac{b}{c}\right)^2 = 1 $$

Теперь выразим из уравнения квадрат искомого отношения $ \left(\frac{b}{c}\right)^2 $:

$$ \left(\frac{b}{c}\right)^2 = 1 - 0,36 $$

$$ \left(\frac{b}{c}\right)^2 = 0,64 $$

Чтобы найти само отношение $ \frac{b}{c} $, нужно извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как отношение длин сторон треугольника — величина положительная, мы рассматриваем только арифметический (положительный) корень:

$$ \frac{b}{c} = \sqrt{0,64} $$

$$ \frac{b}{c} = 0,8 $$

Таким образом, отношение другого катета к гипотенузе составляет 0,8.

Найдите отношение другого катета к гипотенузе. Ответ: 0,8