Номер 1.408, страница 128 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.408. Найдите высоту треугольника, если она в два раза больше стороны, к которой проведена, а площадь треугольника равна $32 \text{ см}^2$.

Для решения данной задачи воспользуемся стандартной формулой для вычисления площади треугольника:

$ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h $

где $S$ — это площадь треугольника, $a$ — это длина стороны (основания), а $h$ — это высота, проведенная к этой стороне.

Из условий задачи нам известно:

• Площадь треугольника $S = 32 \text{ см}^2$.
• Высота в два раза больше стороны, к которой она проведена. Это можно записать в виде соотношения: $h = 2a$.

Наша цель — найти высоту $h$. Для этого выразим сторону $a$ через высоту $h$ из второго условия:

$ a = \frac{h}{2} $

Теперь подставим это выражение для стороны $a$ и известное значение площади $S$ в основную формулу площади треугольника:

$ 32 = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{h}{2}\right) \cdot h $

Теперь решим полученное уравнение относительно $h$. Сначала упростим правую часть:

$ 32 = \frac{1 \cdot h \cdot h}{2 \cdot 2} $

$ 32 = \frac{h^2}{4} $

Чтобы найти $h^2$, умножим обе части уравнения на 4:

$ h^2 = 32 \cdot 4 $

$ h^2 = 128 $

Для нахождения $h$ извлечем квадратный корень из 128. Поскольку высота — это геометрическая величина, она может быть только положительной:

$ h = \sqrt{128} $

Чтобы упростить корень, разложим число 128 на множители, выделив полный квадрат:

$ h = \sqrt{64 \cdot 2} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{2} = 8\sqrt{2} $

Следовательно, высота треугольника равна $8\sqrt{2}$ см.

Ответ: $8\sqrt{2}$ см.