Номер 1.411, страница 136 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.411. Вычислите, используя формулы сложения:

a) $\sin 46^{\circ} \cos 44^{\circ} + \sin 44^{\circ} \cos 46^{\circ}$

б) $\cos 17^{\circ} \cos 43^{\circ} - \sin 17^{\circ} \sin 43^{\circ}$

В) $\frac{\text{tg}26^{\circ} + \text{tg}19^{\circ}}{1 - \text{tg}19^{\circ}\text{tg}26^{\circ}}$

а) Для вычисления данного выражения воспользуемся формулой синуса суммы двух углов:

$ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $

В нашем случае, выражение $ \sin 46^\circ \cos 44^\circ + \sin 44^\circ \cos 46^\circ $ соответствует этой формуле, где $ \alpha = 46^\circ $ и $ \beta = 44^\circ $. Порядок слагаемых $ \sin 44^\circ \cos 46^\circ $ и $ \cos\alpha \sin\beta $ совпадает, так как $ \sin 44^\circ = \sin\beta $ и $ \cos 46^\circ = \cos\alpha $.

Подставим значения в формулу:

$ \sin 46^\circ \cos 44^\circ + \cos 46^\circ \sin 44^\circ = \sin(46^\circ + 44^\circ) = \sin(90^\circ) $

Значение синуса $ 90^\circ $ равно 1.

Ответ: 1.

б) Для вычисления выражения $ \cos 17^\circ \cos 43^\circ - \sin 17^\circ \sin 43^\circ $ применим формулу косинуса суммы двух углов:

$ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $

В данном выражении $ \alpha = 17^\circ $ и $ \beta = 43^\circ $.

Следовательно, выражение равно:

$ \cos(17^\circ + 43^\circ) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} $

Ответ: $ \frac{1}{2} $.

в) Для вычисления выражения $ \frac{\mathrm{tg}\,26^\circ + \mathrm{tg}\,19^\circ}{1 - \mathrm{tg}\,19^\circ \mathrm{tg}\,26^\circ} $ применим формулу тангенса суммы двух углов:

$ \mathrm{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\mathrm{tg}\,\alpha + \mathrm{tg}\,\beta}{1 - \mathrm{tg}\,\alpha \mathrm{tg}\,\beta} $

В данном выражении $ \alpha = 26^\circ $ и $ \beta = 19^\circ $. Порядок множителей в знаменателе не влияет на результат ($ \mathrm{tg}\,19^\circ \mathrm{tg}\,26^\circ = \mathrm{tg}\,26^\circ \mathrm{tg}\,19^\circ $).

Следовательно, выражение равно:

$ \mathrm{tg}(26^\circ + 19^\circ) = \mathrm{tg}(45^\circ) = 1 $

Ответ: 1.