Номер 1.405, страница 128 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.405. Найдите нули функции $f(x) = x^4 - 10x^2 + 9$.

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $f(x)$ равно нулю. Чтобы найти нули данной функции, необходимо решить уравнение $f(x) = 0$.

$x^4 - 10x^2 + 9 = 0$

Это уравнение является биквадратным. Для его решения введем новую переменную. Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то для переменной $t$ должно выполняться условие $t \ge 0$.

После замены исходное уравнение превращается в квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 - 10t + 9 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Наиболее просто это сделать с помощью теоремы Виета:

• Сумма корней: $t_1 + t_2 = 10$
• Произведение корней: $t_1 \cdot t_2 = 9$

Методом подбора находим корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 9$.

Оба найденных значения для $t$ (1 и 9) положительны, следовательно, они удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Теперь необходимо вернуться к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену $x^2 = t$ для каждого найденного корня.

1. При $t_1 = 1$:

   $x^2 = 1$

   $x = \pm\sqrt{1}$

   Отсюда получаем два корня: $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.

2. При $t_2 = 9$:

   $x^2 = 9$

   $x = \pm\sqrt{9}$

   Отсюда получаем еще два корня: $x_3 = -3$ и $x_4 = 3$.

Таким образом, мы нашли все четыре нуля функции.

Ответ: Нулями функции являются числа -3, -1, 1, 3.