Номер 1.399, страница 128 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.399. Найдите все корни уравнения:

а) $ \cos(2\pi - x) + \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sqrt{3}; $

б) $ \cos(2\pi - x) - \sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = 1; $

В) $ 2\cos^2 x = \sqrt{3} \sin(1,5\pi + x). $

а) $cos(2\pi - x) + sin(\frac{\pi}{2} - x) = \sqrt{3}$

Для решения данного уравнения воспользуемся формулами приведения:

• $cos(2\pi - x) = cos(x)$
• $sin(\frac{\pi}{2} - x) = cos(x)$

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$cos(x) + cos(x) = \sqrt{3}$

$2cos(x) = \sqrt{3}$

$cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Найдём все корни этого простейшего тригонометрического уравнения:

$x = \pm arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $cos(2\pi - x) - sin(\frac{3\pi}{2} + x) = 1$

Применим формулы приведения:

• $cos(2\pi - x) = cos(x)$
• $sin(\frac{3\pi}{2} + x) = -cos(x)$ (угол $\frac{3\pi}{2} + x$ находится в IV четверти, где синус отрицателен, и функция меняется на кофункцию)

Подставим преобразованные выражения в уравнение:

$cos(x) - (-cos(x)) = 1$

$cos(x) + cos(x) = 1$

$2cos(x) = 1$

$cos(x) = \frac{1}{2}$

Корни этого уравнения:

$x = \pm arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $2cos^2 x = \sqrt{3}sin(1,5\pi + x)$

Сначала преобразуем аргумент синуса: $1,5\pi = \frac{3\pi}{2}$.

$2cos^2 x = \sqrt{3}sin(\frac{3\pi}{2} + x)$

Применим формулу приведения $sin(\frac{3\pi}{2} + x) = -cos(x)$:

$2cos^2 x = \sqrt{3}(-cos(x))$

Перенесём все члены в левую часть и приравняем к нулю:

$2cos^2 x + \sqrt{3}cos(x) = 0$

Вынесем общий множитель $cos(x)$ за скобки:

$cos(x)(2cos(x) + \sqrt{3}) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $cos(x) = 0$

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

2) $2cos(x) + \sqrt{3} = 0$

$2cos(x) = -\sqrt{3}$

$cos(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$x = \pm arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \pm (\pi - \frac{\pi}{6}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Объединяем решения из обоих случаев.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k; \quad x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$.