Номер 1.395, страница 127 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.395. Упростите выражение:

a) $\operatorname{tg}(180^\circ + \alpha) \cdot \operatorname{ctg}(360^\circ - \alpha) + \cos^2 \alpha;$

б) $\frac{\operatorname{tg}(90^\circ - \alpha)\sin(180^\circ - \alpha)}{\cos(180^\circ + \alpha)}.$

Для упрощения данных выражений воспользуемся формулами приведения и основными тригонометрическими тождествами.

а) $tg(180° + \alpha) \cdot ctg(360° - \alpha) + \cos^2 \alpha$

1. Упростим каждый тригонометрический член с помощью формул приведения:

• Для $tg(180° + \alpha)$: так как угол $180°$ находится на горизонтальной оси, название функции не меняется. Угол $(180° + \alpha)$ находится в III четверти, где тангенс положителен. Следовательно, $tg(180° + \alpha) = tg(\alpha)$.
• Для $ctg(360° - \alpha)$: так как угол $360°$ находится на горизонтальной оси, название функции не меняется. Угол $(360° - \alpha)$ находится в IV четверти, где котангенс отрицателен. Следовательно, $ctg(360° - \alpha) = -ctg(\alpha)$.

2. Подставим упрощенные выражения в исходное:

$tg(\alpha) \cdot (-ctg(\alpha)) + \cos^2 \alpha$

3. Используем тождество $tg(\alpha) \cdot ctg(\alpha) = 1$:

$-(tg(\alpha) \cdot ctg(\alpha)) + \cos^2 \alpha = -1 + \cos^2 \alpha$

4. Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, из которого следует, что $\cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha$:

$-1 + \cos^2 \alpha = \cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha$

Ответ: $-\sin^2 \alpha$

б) $\frac{tg(90° - \alpha) \sin(180° - \alpha)}{\cos(180° + \alpha)}$

1. Упростим каждый множитель в числителе и знаменателе по формулам приведения:

• Для $tg(90° - \alpha)$: так как угол $90°$ находится на вертикальной оси, функция меняется на кофункцию (тангенс на котангенс). Угол $(90° - \alpha)$ находится в I четверти, где все функции положительны. Следовательно, $tg(90° - \alpha) = ctg(\alpha)$.
• Для $\sin(180° - \alpha)$: так как угол $180°$ находится на горизонтальной оси, название функции не меняется. Угол $(180° - \alpha)$ находится во II четверти, где синус положителен. Следовательно, $\sin(180° - \alpha) = \sin(\alpha)$.
• Для $\cos(180° + \alpha)$: так как угол $180°$ находится на горизонтальной оси, название функции не меняется. Угол $(180° + \alpha)$ находится в III четверти, где косинус отрицателен. Следовательно, $\cos(180° + \alpha) = -\cos(\alpha)$.

2. Подставим упрощенные выражения в исходную дробь:

$\frac{ctg(\alpha) \cdot \sin(\alpha)}{-\cos(\alpha)}$

3. Используем определение котангенса $ctg(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$ и подставим его в числитель:

$\frac{\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} \cdot \sin(\alpha)}{-\cos(\alpha)}$

4. Сократим $\sin(\alpha)$ в числителе:

$\frac{\cos(\alpha)}{-\cos(\alpha)}$

5. Сократим $\cos(\alpha)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{1}{-1} = -1$

Ответ: $-1$