Номер 1.390, страница 127 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.390. Преобразуйте выражение:

a) $tg^2(\\frac{3\\pi}{2} + \\alpha)$;

б) $sin^2(5\\pi - \\alpha)$;

в) $cos^2(630^\\circ + \\alpha)$.

а) Для преобразования выражения $\tg^2(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$ воспользуемся формулами приведения. Так как выражение находится в квадрате, итоговый знак всегда будет положительным, поэтому нам нужно только определить, изменится ли функция на кофункцию.
Рассмотрим аргумент $\frac{3\pi}{2} + \alpha$. Поскольку в нем содержится слагаемое $\frac{3\pi}{2}$ (нечетное число раз по $\frac{\pi}{2}$), тригонометрическая функция тангенс ($\tg$) меняется на кофункцию котангенс ($\ctg$).
Таким образом, $\tg(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\ctg(\alpha)$.
Возводя в квадрат, получаем:
$\tg^2(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \left(\tg\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)\right)^2 = (-\ctg(\alpha))^2 = \ctg^2(\alpha)$.
Ответ: $\ctg^2(\alpha)$.

б) Для преобразования выражения $\sin^2(5\pi - \alpha)$ воспользуемся свойством периодичности синуса и формулами приведения.
Период функции синус равен $2\pi$. Мы можем отбросить из аргумента целое число периодов:
$5\pi = 4\pi + \pi = 2 \cdot (2\pi) + \pi$.
Следовательно, $\sin(5\pi - \alpha) = \sin(\pi - \alpha)$.
Теперь применим формулу приведения. Для аргумента $\pi - \alpha$ (четное число раз по $\frac{\pi}{2}$) функция синус не меняется.
Угол $\pi - \alpha$ находится во второй четверти (если считать $\alpha$ острым углом), где синус положителен. Значит, $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$.
Возводим в квадрат:
$\sin^2(5\pi - \alpha) = (\sin(\alpha))^2 = \sin^2(\alpha)$.
Ответ: $\sin^2(\alpha)$.

в) Для преобразования выражения $\cos^2(630^\circ + \alpha)$ воспользуемся свойством периодичности косинуса и формулами приведения.
Период функции косинус равен $360^\circ$. Мы можем отбросить из аргумента целое число периодов:
$630^\circ = 360^\circ + 270^\circ$.
Следовательно, $\cos(630^\circ + \alpha) = \cos(360^\circ + 270^\circ + \alpha) = \cos(270^\circ + \alpha)$.
Теперь применим формулу приведения. Для аргумента $270^\circ + \alpha$ ($270^\circ = 3 \cdot 90^\circ$, нечетное число раз по $90^\circ$) функция косинус ($\cos$) меняется на кофункцию синус ($\sin$).
Угол $270^\circ + \alpha$ находится в четвертой четверти, где косинус положителен. Значит, $\cos(270^\circ + \alpha) = \sin(\alpha)$.
Возводим в квадрат:
$\cos^2(630^\circ + \alpha) = (\sin(\alpha))^2 = \sin^2(\alpha)$.
Ответ: $\sin^2(\alpha)$.