Номер 1.387, страница 126 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.387. Используйте формулы приведения и запишите тригонометрическую функцию угла $\alpha$:

a) $\sin(270^\circ - \alpha)$;

б) $\cot(180^\circ - \alpha)$;

в) $\cos(\alpha - 90^\circ)$;

г) $\sin(\alpha - 180^\circ)$;

д) $\tan(\alpha - 360^\circ)$;

е) $\cot(\alpha - 270^\circ)$.

Для решения данной задачи используются формулы приведения. Общее правило для их применения следующее:

1. Если в формуле содержатся углы $180°$ ($\pi$) или $360°$ ($2\pi$), то наименование функции не меняется. Если в формуле содержатся углы $90°$ ($\frac{\pi}{2}$) или $270°$ ($\frac{3\pi}{2}$), то наименование функции меняется на кофункцию (синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс и котангенс на тангенс).
2. Знак перед полученной функцией определяется знаком исходной функции в той четверти, в которой находится угол, если считать $\alpha$ острым углом ($0 < \alpha < 90°$).

Также будем использовать свойства четности и нечетности тригонометрических функций:

• $\cos(-x) = \cos(x)$ (косинус - четная функция)
• $\sin(-x) = -\sin(x)$ (синус - нечетная функция)
• $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg}(x)$ (тангенс - нечетная функция)
• $\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg}(x)$ (котангенс - нечетная функция)

1. Угол $270°$ находится на вертикальной оси (ось ординат), поэтому функция $\sin$ меняется на кофункцию $\cos$.

2. Угол $270° - \alpha$ находится в III четверти (например, если $\alpha = 30°$, то $270° - 30° = 240°$). В III четверти синус отрицателен.

3. Следовательно, $\sin(270° - \alpha) = -\cos(\alpha)$.

Ответ: $-\cos(\alpha)$.

1. Угол $180°$ находится на горизонтальной оси (ось абсцисс), поэтому функция $\operatorname{ctg}$ не меняется.

2. Угол $180° - \alpha$ находится во II четверти. Во II четверти котангенс отрицателен (так как косинус отрицателен, а синус положителен).

3. Следовательно, $\operatorname{ctg}(180° - \alpha) = -\operatorname{ctg}(\alpha)$.

Ответ: $-\operatorname{ctg}(\alpha)$.

1. Воспользуемся свойством четности косинуса: $\cos(x) = \cos(-x)$.

$\cos(\alpha - 90°) = \cos(-(90° - \alpha)) = \cos(90° - \alpha)$.

2. Теперь применим формулу приведения для $\cos(90° - \alpha)$. Угол $90°$ на вертикальной оси, поэтому функция $\cos$ меняется на $\sin$.

3. Угол $90° - \alpha$ находится в I четверти, где косинус положителен.

4. Следовательно, $\cos(90° - \alpha) = \sin(\alpha)$.

Ответ: $\sin(\alpha)$.

1. Воспользуемся свойством нечетности синуса: $\sin(-x) = -\sin(x)$.

$\sin(\alpha - 180°) = \sin(-(180° - \alpha)) = -\sin(180° - \alpha)$.

2. Теперь применим формулу приведения для $\sin(180° - \alpha)$. Угол $180°$ на горизонтальной оси, поэтому функция $\sin$ не меняется.

3. Угол $180° - \alpha$ находится во II четверти, где синус положителен.

4. Значит, $\sin(180° - \alpha) = \sin(\alpha)$.

5. Подставляя обратно, получаем: $-\sin(180° - \alpha) = -\sin(\alpha)$.

Ответ: $-\sin(\alpha)$.

1. Тангенс является периодической функцией с периодом $180°$, а значит и $360°$. $\operatorname{tg}(x - 360°) = \operatorname{tg}(x)$.

2. Следовательно, $\operatorname{tg}(\alpha - 360°) = \operatorname{tg}(\alpha)$.

Альтернативный способ:

1. Используем свойство нечетности тангенса: $\operatorname{tg}(\alpha - 360°) = \operatorname{tg}(-(360° - \alpha)) = -\operatorname{tg}(360° - \alpha)$.

2. Для $\operatorname{tg}(360° - \alpha)$: угол $360°$ на горизонтальной оси, функция не меняется. Угол $360° - \alpha$ находится в IV четверти, где тангенс отрицателен.

3. Таким образом, $\operatorname{tg}(360° - \alpha) = -\operatorname{tg}(\alpha)$.

4. Подставляя, получаем: $-(-\operatorname{tg}(\alpha)) = \operatorname{tg}(\alpha)$.

Ответ: $\operatorname{tg}(\alpha)$.

1. Воспользуемся свойством нечетности котангенса: $\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg}(x)$.

$\operatorname{ctg}(\alpha - 270°) = \operatorname{ctg}(-(270° - \alpha)) = -\operatorname{ctg}(270° - \alpha)$.

2. Теперь применим формулу приведения для $\operatorname{ctg}(270° - \alpha)$. Угол $270°$ на вертикальной оси, поэтому функция $\operatorname{ctg}$ меняется на $\operatorname{tg}$.

3. Угол $270° - \alpha$ находится в III четверти, где котангенс положителен.

4. Значит, $\operatorname{ctg}(270° - \alpha) = \operatorname{tg}(\alpha)$.

5. Подставляя обратно, получаем: $-\operatorname{ctg}(270° - \alpha) = -\operatorname{tg}(\alpha)$.

Ответ: $-\operatorname{tg}(\alpha)$.