Номер 1.383, страница 126 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.383. Постройте график функции:

а) $f(x) = \sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) + 1;$

б) $f(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) - 1.$

a) $f(x) = \sin(\frac{3\pi}{2} - x) + 1$;

Для построения графика данной функции сначала упростим ее выражение, используя формулы приведения.

Согласно формуле приведения для синуса: $\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos(\alpha)$.
В нашем случае $\alpha = x$, поэтому функция принимает вид:
$f(x) = \sin(\frac{3\pi}{2} - x) + 1 = -\cos(x) + 1$.

Теперь мы можем построить график функции $f(x) = 1 - \cos(x)$, выполнив последовательные преобразования графика базовой функции $y = \cos(x)$.

1. Строим график функции $y_1 = \cos(x)$. Это стандартная косинусоида с периодом $T=2\pi$, амплитудой 1 и областью значений $[-1, 1]$.
2. Строим график функции $y_2 = -\cos(x)$. Этот график получается путем зеркального отражения графика $y_1 = \cos(x)$ относительно оси абсцисс (оси Ox).
3. Строим искомый график функции $f(x) = -\cos(x) + 1$. Этот график получается путем сдвига графика $y_2 = -\cos(x)$ на 1 единицу вверх вдоль оси ординат (оси Oy).

Свойства итогового графика:

• Период функции: $T=2\pi$.
• Область значений: так как $-1 \le \cos(x) \le 1$, то $-1 \le -\cos(x) \le 1$. Прибавляя 1 ко всем частям неравенства, получаем $0 \le 1 - \cos(x) \le 2$. Таким образом, область значений функции $E(f) = [0, 2]$.
• График колеблется относительно прямой $y=1$.
• Ключевые точки на одном периоде $[0, 2\pi]$:
  • При $x=0$, $f(0) = 1 - \cos(0) = 1 - 1 = 0$. Точка $(0, 0)$ является точкой минимума.
  • При $x=\frac{\pi}{2}$, $f(\frac{\pi}{2}) = 1 - \cos(\frac{\pi}{2}) = 1 - 0 = 1$.
  • При $x=\pi$, $f(\pi) = 1 - \cos(\pi) = 1 - (-1) = 2$. Точка $(\pi, 2)$ является точкой максимума.
  • При $x=\frac{3\pi}{2}$, $f(\frac{3\pi}{2}) = 1 - \cos(\frac{3\pi}{2}) = 1 - 0 = 1$.
  • При $x=2\pi$, $f(2\pi) = 1 - \cos(2\pi) = 1 - 1 = 0$. Точка $(2\pi, 0)$ является точкой минимума.

Ответ: График функции $f(x) = \sin(\frac{3\pi}{2} - x) + 1$ является графиком функции $y = -\cos(x)$ (косинусоида, отраженная относительно оси Ox), смещенным на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

б) $f(x) = \cos(\frac{\pi}{2} + x) - 1$;

Аналогично предыдущему пункту, сначала упростим выражение функции с помощью формул приведения.

Согласно формуле приведения для косинуса: $\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin(\alpha)$.
В нашем случае $\alpha = x$, поэтому функция принимает вид:
$f(x) = \cos(\frac{\pi}{2} + x) - 1 = -\sin(x) - 1$.

Теперь мы можем построить график функции $f(x) = -\sin(x) - 1$, выполнив последовательные преобразования графика базовой функции $y = \sin(x)$.

1. Строим график функции $y_1 = \sin(x)$. Это стандартная синусоида с периодом $T=2\pi$, амплитудой 1 и областью значений $[-1, 1]$.
2. Строим график функции $y_2 = -\sin(x)$. Этот график получается путем зеркального отражения графика $y_1 = \sin(x)$ относительно оси абсцисс (оси Ox).
3. Строим искомый график функции $f(x) = -\sin(x) - 1$. Этот график получается путем сдвига графика $y_2 = -\sin(x)$ на 1 единицу вниз вдоль оси ординат (оси Oy).

Свойства итогового графика:

• Период функции: $T=2\pi$.
• Область значений: так как $-1 \le \sin(x) \le 1$, то $-1 \le -\sin(x) \le 1$. Вычитая 1 из всех частей неравенства, получаем $-2 \le -\sin(x) - 1 \le 0$. Таким образом, область значений функции $E(f) = [-2, 0]$.
• График колеблется относительно прямой $y=-1$.
• Ключевые точки на одном периоде $[0, 2\pi]$:
  • При $x=0$, $f(0) = -\sin(0) - 1 = 0 - 1 = -1$.
  • При $x=\frac{\pi}{2}$, $f(\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) - 1 = -1 - 1 = -2$. Точка $(\frac{\pi}{2}, -2)$ является точкой минимума.
  • При $x=\pi$, $f(\pi) = -\sin(\pi) - 1 = 0 - 1 = -1$.
  • При $x=\frac{3\pi}{2}$, $f(\frac{3\pi}{2}) = -\sin(\frac{3\pi}{2}) - 1 = -(-1) - 1 = 0$. Точка $(\frac{3\pi}{2}, 0)$ является точкой максимума.
  • При $x=2\pi$, $f(2\pi) = -\sin(2\pi) - 1 = 0 - 1 = -1$.

Ответ: График функции $f(x) = \cos(\frac{\pi}{2} + x) - 1$ является графиком функции $y = -\sin(x)$ (синусоида, отраженная относительно оси Ox), смещенным на 1 единицу вниз вдоль оси Oy.