Номер 1.384, страница 126 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.384*. Найдите значение выражения:

a) $\text{tg}\left(\frac{3\pi}{2} - \text{arcctg}7\right)$;

б) $\text{cos}\left(\pi + \text{arccos}\left(-\frac{2}{3}\right)\right).$

а) Найдем значение выражения $\tg(\frac{3\pi}{2} - \operatorname{arcctg}7)$.

Для упрощения данного выражения применим формулу приведения для тангенса. Формула приведения для угла вида $(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$ выглядит следующим образом:$\tg(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \ctg(\alpha)$.

Это связано с тем, что угол $(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$ находится в третьей четверти, где тангенс положителен, а при использовании опорного угла $\frac{3\pi}{2}$ тригонометрическая функция меняется на кофункцию (тангенс на котангенс).

В нашем случае в качестве $\alpha$ выступает $\operatorname{arcctg}7$.

Подставим $\alpha = \operatorname{arcctg}7$ в формулу приведения:

$\tg(\frac{3\pi}{2} - \operatorname{arcctg}7) = \ctg(\operatorname{arcctg}7)$.

Согласно определению арккотангенса, для любого действительного числа $x$ выполняется тождество: $\ctg(\operatorname{arcctg}x) = x$.

Применяя это тождество, получаем:

$\ctg(\operatorname{arcctg}7) = 7$.

Ответ: 7

б) Найдем значение выражения $\cos(\pi + \arccos(-\frac{2}{3}))$.

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулой приведения для косинуса. Формула приведения для угла вида $(\pi + \alpha)$ выглядит так:$\cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha)$.

Это следует из того, что угол $(\pi + \alpha)$ находится в третьей четверти, где косинус отрицателен, а при использовании опорного угла $\pi$ название тригонометрической функции сохраняется.

В нашем выражении в качестве $\alpha$ выступает $\arccos(-\frac{2}{3})$.

Подставим $\alpha = \arccos(-\frac{2}{3})$ в формулу приведения:

$\cos(\pi + \arccos(-\frac{2}{3})) = -\cos(\arccos(-\frac{2}{3}))$.

Согласно определению арккосинуса, для любого $x$ из отрезка $[-1, 1]$ выполняется тождество: $\cos(\arccos x) = x$.

Применяя это тождество к нашему выражению, получаем:

$-\cos(\arccos(-\frac{2}{3})) = -(-\frac{2}{3}) = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$