Номер 1.385, страница 126 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.385*. Найдите значение выражения $\frac{2\sin(\pi - \alpha) + \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha)}{\cos(\pi + \alpha) - 4\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)}$, если $\operatorname{tg}\alpha = 3.$

Для нахождения значения выражения, сначала упростим его, используя формулы приведения для тригонометрических функций. Формулы приведения позволяют свести тригонометрическую функцию любого угла к функции острого угла.

Исходное выражение:

$$ \frac{2\sin(\pi - \alpha) + \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha)}{\cos(\pi + \alpha) - 4\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)} $$

Применим формулы приведения к каждому члену выражения:

• Для $ \sin(\pi - \alpha) $: Угол $ (\pi - \alpha) $ находится во второй четверти, где синус положителен. Так как мы вычитаем из $ \pi $, название функции не меняется. Следовательно, $ \sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha $.
• Для $ \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) $: Угол $ (\frac{3\pi}{2} - \alpha) $ находится в третьей четверти, где синус отрицателен. Так как мы используем $ \frac{3\pi}{2} $, название функции меняется на кофункцию (косинус). Следовательно, $ \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos\alpha $.
• Для $ \cos(\pi + \alpha) $: Угол $ (\pi + \alpha) $ находится в третьей четверти, где косинус отрицателен. Название функции не меняется. Следовательно, $ \cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha $.
• Для $ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) $: Угол $ (\frac{\pi}{2} + \alpha) $ находится во второй четверти, где косинус отрицателен. Название функции меняется на кофункцию (синус). Следовательно, $ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin\alpha $.

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходную дробь:

$$ \frac{2(\sin\alpha) + (-\cos\alpha)}{(-\cos\alpha) - 4(-\sin\alpha)} = \frac{2\sin\alpha - \cos\alpha}{-\cos\alpha + 4\sin\alpha} $$

Переставим слагаемые в знаменателе для удобства:

$$ \frac{2\sin\alpha - \cos\alpha}{4\sin\alpha - \cos\alpha} $$

По условию задачи $ \text{tg}\,\alpha = 3 $. Вспомним, что $ \text{tg}\,\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $. Чтобы использовать это соотношение, разделим числитель и знаменатель нашей дроби на $ \cos\alpha $ (это действие корректно, так как если $ \cos\alpha = 0 $, то $ \text{tg}\,\alpha $ не был бы определен, что противоречит условию).

$$ \frac{\frac{2\sin\alpha - \cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{4\sin\alpha - \cos\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{2\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}{4\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{2\text{tg}\,\alpha - 1}{4\text{tg}\,\alpha - 1} $$

Наконец, подставим известное значение $ \text{tg}\,\alpha = 3 $:

$$ \frac{2 \cdot 3 - 1}{4 \cdot 3 - 1} = \frac{6 - 1}{12 - 1} = \frac{5}{11} $$

Ответ: $ \frac{5}{11} $