Номер 1.378, страница 125 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.378. Известно, что $cos (\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \frac{4}{5}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Найдите $tg \alpha$.

Для решения задачи необходимо выполнить следующие шаги:

1. Упростить данное выражение
Воспользуемся формулой приведения для косинуса: $ \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin\alpha $.
Это равенство верно, так как при переходе через угол $ \frac{3\pi}{2} $ функция меняется на кофункцию (косинус на синус), а знак остается положительным, поскольку угол $ (\frac{3\pi}{2} + \alpha) $ находится в IV координатной четверти, где косинус положителен.
Из условия задачи $ \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \frac{4}{5} $ следует, что $ \sin\alpha = \frac{4}{5} $.

2. Найти $ \cos\alpha $
Используем основное тригонометрическое тождество: $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.
Выразим из него $ \cos^2\alpha $ и подставим известное значение $ \sin\alpha $:
$ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25 - 16}{25} = \frac{9}{25} $.
Следовательно, $ \cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{9}{25}} = \pm\frac{3}{5} $.
По условию, угол $ \alpha $ принадлежит интервалу $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $, что соответствует второй координатной четверти. Во второй четверти косинус принимает отрицательные значения, поэтому:
$ \cos\alpha = -\frac{3}{5} $.

3. Найти $ \tg\alpha $
Тангенс угла определяется как отношение синуса к косинусу:
$ \tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $.
Подставим найденные значения $ \sin\alpha $ и $ \cos\alpha $:
$ \tg\alpha = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{3} = -\frac{4}{3} $.
Для выделения целой части преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$ -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} $.

Ответ: $ -1\frac{1}{3} $.