Номер 1.375, страница 125 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

Используем формулу приведения $tg(\pi + \alpha) = tg(\alpha)$. Уравнение принимает вид:

$tg(x) = 1$

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней:

$x = arctg(1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Так как $arctg(1) = \frac{\pi}{4}$, получаем:

Используем формулу приведения $cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -sin(\alpha)$. Уравнение принимает вид:

$-sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$sin(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Общее решение этого уравнения имеет вид:

$x = (-1)^{k} arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Так как $arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$, подставляем и получаем:

$x = (-1)^{k} (-\frac{\pi}{3}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k$

Сначала преобразуем уравнение:

$2sin(x - \frac{\pi}{2}) = \sqrt{2}$

$sin(x - \frac{\pi}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Для применения формулы приведения воспользуемся нечетностью синуса: $sin(x - \frac{\pi}{2}) = -sin(\frac{\pi}{2} - x)$. Далее, по формуле приведения $sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = cos(\alpha)$, получаем, что левая часть равна $-cos(x)$. Уравнение принимает вид:

$-cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$cos(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Общее решение для косинуса:

$x = \pm arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Так как $arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4}$, получаем:

Преобразуем исходное уравнение:

$3ctg(2x - \frac{3\pi}{2}) = -\sqrt{3}$

$ctg(2x - \frac{3\pi}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Для применения формулы приведения воспользуемся нечетностью котангенса: $ctg(2x - \frac{3\pi}{2}) = -ctg(\frac{3\pi}{2} - 2x)$. Далее, по формуле приведения $ctg(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = tg(\alpha)$, получаем, что левая часть равна $-tg(2x)$. Уравнение принимает вид:

$-tg(2x) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

$tg(2x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Находим аргумент $2x$:

$2x = arctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$2x = \frac{\pi}{6} + \pi n$

Находим $x$, разделив обе части на 2: