Номер 1.369, страница 124 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.369. Приведите к тригонометрической функции угла $\alpha$:

а) $cos(270^\circ - \alpha);$

б) $tg(180^\circ - \alpha);$

в) $sin(\alpha - 90^\circ);$

г) $cos(\alpha - 180^\circ);$

д) $ctg(\alpha - 360^\circ);$

е) $tg(\alpha - 270^\circ).$

Для решения данной задачи используются формулы приведения. Общее правило состоит из двух шагов:
1. Определение знака итоговой функции: предполагая, что угол $\alpha$ острый, определяем, в какой четверти находится исходный угол (например, $270° - \alpha$). Знак итоговой функции совпадает со знаком исходной функции в этой четверти.
2. Определение названия итоговой функции: если в формуле присутствуют углы $180°$ или $360°$, название функции не меняется. Если же присутствуют углы $90°$ или $270°$, то функция меняется на кофункцию (синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот).

а) Для выражения $cos(270° - \alpha)$:
1. Угол $270° - \alpha$ находится в III четверти, где косинус отрицателен. Значит, у результата будет знак «-».
2. Так как в формуле есть угол $270°$, функция меняется на кофункцию: $cos$ на $sin$.
Таким образом, $cos(270° - \alpha) = -sin(\alpha)$.
Ответ: $-sin(\alpha)$

б) Для выражения $tg(180° - \alpha)$:
1. Угол $180° - \alpha$ находится во II четверти, где тангенс отрицателен. Значит, у результата будет знак «-».
2. Так как в формуле есть угол $180°$, название функции не меняется.
Таким образом, $tg(180° - \alpha) = -tg(\alpha)$.
Ответ: $-tg(\alpha)$

в) Для выражения $sin(\alpha - 90°)$:
Сначала воспользуемся свойством нечетности синуса: $sin(\alpha - 90°) = sin(-(90° - \alpha)) = -sin(90° - \alpha)$.
Теперь применим формулу приведения к $sin(90° - \alpha)$:
1. Угол $90° - \alpha$ находится в I четверти, где синус положителен.
2. Так как в формуле есть угол $90°$, функция меняется на кофункцию: $sin$ на $cos$.
Получаем $sin(90° - \alpha) = cos(\alpha)$.
Следовательно, $sin(\alpha - 90°) = -cos(\alpha)$.
Ответ: $-cos(\alpha)$

г) Для выражения $cos(\alpha - 180°)$:
Воспользуемся свойством четности косинуса: $cos(\alpha - 180°) = cos(-(180° - \alpha)) = cos(180° - \alpha)$.
Теперь применим формулу приведения к $cos(180° - \alpha)$:
1. Угол $180° - \alpha$ находится во II четверти, где косинус отрицателен.
2. Так как в формуле есть угол $180°$, название функции не меняется.
Таким образом, $cos(\alpha - 180°) = -cos(\alpha)$.
Ответ: $-cos(\alpha)$

д) Для выражения $ctg(\alpha - 360°)$:
Функция котангенс является периодической с периодом $180°$. Угол $360°$ является кратным периоду ($360° = 2 \cdot 180°$), поэтому его можно отбросить, не меняя значения функции.
$ctg(\alpha - 360°) = ctg(\alpha)$.
Ответ: $ctg(\alpha)$

е) Для выражения $tg(\alpha - 270°)$:
Воспользуемся свойством нечетности тангенса: $tg(\alpha - 270°) = -tg(270° - \alpha)$.
Теперь применим формулу приведения к $tg(270° - \alpha)$:
1. Угол $270° - \alpha$ находится в III четверти, где тангенс положителен.
2. Так как в формуле есть угол $270°$, функция меняется на кофункцию: $tg$ на $ctg$.
Получаем $tg(270° - \alpha) = ctg(\alpha)$.
Следовательно, $tg(\alpha - 270°) = -ctg(\alpha)$.
Ответ: $-ctg(\alpha)$