Номер 1.367, страница 115 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.367. Определите знак $ctg\alpha$, если:

а) $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$;

б) $-\pi < \alpha < -\frac{\pi}{2}$;

в) $-\frac{3\pi}{2} < \alpha < -\pi$;

г) $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$.

Для определения знака $ctg(\alpha)$ необходимо установить, в какой тригонометрической четверти находится угол $\alpha$. Знак котангенса в каждой четверти определяется знаками косинуса и синуса, так как $ctg(\alpha) = \frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)}$.

• I четверть ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$): $cos(\alpha) > 0$, $sin(\alpha) > 0 \Rightarrow ctg(\alpha) > 0$ (положительный).
• II четверть ($\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$): $cos(\alpha) < 0$, $sin(\alpha) > 0 \Rightarrow ctg(\alpha) < 0$ (отрицательный).
• III четверть ($\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$): $cos(\alpha) < 0$, $sin(\alpha) < 0 \Rightarrow ctg(\alpha) > 0$ (положительный).
• IV четверть ($\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$): $cos(\alpha) > 0$, $sin(\alpha) < 0 \Rightarrow ctg(\alpha) < 0$ (отрицательный).

Таким образом, котангенс положителен в I и III четвертях и отрицателен во II и IV четвертях.

а) $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$
Заданный интервал соответствует III тригонометрической четверти. В этой четверти значения косинуса и синуса отрицательны. Поскольку $ctg(\alpha) = \frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)}$, при делении отрицательного числа на отрицательное получается положительное число. $ctg(\alpha) = \frac{(-)}{(-)} = +$. Для наглядности можно представить неправильную дробь $\frac{3}{2}$ в виде смешанной: $\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$. Тогда интервал $\pi < \alpha < 1\frac{1}{2}\pi$ показывает, что угол находится в третьей четверти (между $180^\circ$ и $270^\circ$).
Ответ: +

б) $-\pi < \alpha < -\frac{\pi}{2}$
Отрицательные углы отсчитываются по часовой стрелке от начальной точки. Интервал от $-\pi$ ($-180^\circ$) до $-\frac{\pi}{2}$ ($-90^\circ$) соответствует III тригонометрической четверти. Чтобы работать с привычными положительными углами, можно прибавить к границам интервала полный оборот $2\pi$ (так как тригонометрические функции периодичны с периодом $2\pi$):
$-\pi + 2\pi = \pi$
$-\frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{3\pi}{2}$
Таким образом, мы получаем эквивалентный интервал $\pi < \alpha' < \frac{3\pi}{2}$, который также соответствует III четверти. В III четверти котангенс положителен.
Ответ: +

в) $-\frac{3\pi}{2} < \alpha < -\pi$
Интервал от $-\frac{3\pi}{2}$ ($-270^\circ$) до $-\pi$ ($-180^\circ$) при отсчете по часовой стрелке соответствует II тригонометрической четверти. Представив $-\frac{3}{2}$ как $-1\frac{1}{2}$, видим, что угол находится в интервале $-1\frac{1}{2}\pi < \alpha < -\pi$. Прибавим $2\pi$ к границам для перехода к положительным углам:
$-\frac{3\pi}{2} + 2\pi = \frac{-3\pi+4\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$
$-\pi + 2\pi = \pi$
Полученный интервал $\frac{\pi}{2} < \alpha' < \pi$ — это II четверть. Во II четверти $cos(\alpha) < 0$, а $sin(\alpha) > 0$, следовательно, $ctg(\alpha) = \frac{(-)}{(+)} = -$.
Ответ: -

г) $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$
Заданный интервал, от $\frac{3\pi}{2}$ (то есть $1\frac{1}{2}\pi$) до $2\pi$, соответствует IV тригонометрической четверти (от $270^\circ$ до $360^\circ$). В IV четверти $cos(\alpha) > 0$, а $sin(\alpha) < 0$. Следовательно, $ctg(\alpha) = \frac{(+)}{(-)} = -$.
Ответ: -