Номер 1.404, страница 128 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.404. Решите неравенство $ \frac{x^2+5x}{3-6x} < 0 $ и выберите его наименьшее целое отрицательное решение.

Для решения дробно-рационального неравенства $\frac{x^2+5x}{3-6x} < 0$ воспользуемся методом интервалов.

1. Найдем нули числителя, приравняв его к нулю:
$x^2+5x = 0$
$x(x+5) = 0$
Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -5$.

2. Найдем нули знаменателя. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому эти точки будут "выколотыми" на числовой оси.
$3-6x = 0$
$6x = 3$
$x_3 = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

3. Отметим полученные точки $(-5, 0, \frac{1}{2})$ на числовой оси. Так как неравенство строгое ($<0$), все точки являются выколотыми. Они разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty; -5)$, $(-5; 0)$, $(0; \frac{1}{2})$ и $(\frac{1}{2}; +\infty)$.

4. Определим знак выражения $f(x) = \frac{x^2+5x}{3-6x}$ на каждом из интервалов, подставляя произвольное значение из этого интервала:

• Интервал $(\frac{1}{2}; +\infty)$: возьмем $x=1$. $f(1) = \frac{1^2+5 \cdot 1}{3-6 \cdot 1} = \frac{1+5}{3-6} = \frac{6}{-3} = -2 < 0$. Знак "−".
• Интервал $(0; \frac{1}{2})$: возьмем $x=0.1$. $f(0.1) = \frac{(0.1)^2+5 \cdot 0.1}{3-6 \cdot 0.1} = \frac{0.01+0.5}{3-0.6} = \frac{0.51}{2.4} > 0$. Знак "+".
• Интервал $(-5; 0)$: возьмем $x=-1$. $f(-1) = \frac{(-1)^2+5(-1)}{3-6(-1)} = \frac{1-5}{3+6} = \frac{-4}{9} < 0$. Знак "−".
• Интервал $(-\infty; -5)$: возьмем $x=-6$. $f(-6) = \frac{(-6)^2+5(-6)}{3-6(-6)} = \frac{36-30}{3+36} = \frac{6}{39} > 0$. Знак "+".

Таким образом, знаки на интервалах распределяются следующим образом:

 + - + ------o--------o--------o------------> x -5 0 1/2

5. Нас интересуют интервалы, где выражение отрицательно (знак "−"). Это интервалы $(-5; 0)$ и $(\frac{1}{2}; +\infty)$.
Следовательно, решение неравенства: $x \in (-5; 0) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$.

6. В задании требуется найти наименьшее целое отрицательное решение.
Отрицательные целые решения находятся в интервале $(-5; 0)$. Это числа: $-4, -3, -2, -1$.
Наименьшее из этих чисел равно $-4$.