вопрос, страница 136 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

Выберите равенство, верное для любых углов $α$ и $β$:

a) $&sin;(α - β) = &sin; α - &sin; β;$

б) $&sin;(α - β) = &sin; α - &cos; β;$

в) $&sin;(α - β) = &sin; α &cos; β - &cos; α &sin; β;$

г) $&sin;(α - β) = &sin; α &sin; β - &cos; α &cos; β.$

Данное равенство неверно, так как тригонометрические функции не являются линейными, то есть в общем случае $\sin(x-y) \neq \sin(x) - \sin(y)$. Чтобы это доказать, достаточно привести один контрпример.
Пусть $\alpha = 90^\circ$ ($\frac{\pi}{2}$ рад) и $\beta = 30^\circ$ ($\frac{\pi}{6}$ рад).
Вычислим левую часть:
$\sin(\alpha - \beta) = \sin(90^\circ - 30^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Вычислим правую часть:
$\sin\alpha - \sin\beta = \sin(90^\circ) - \sin(30^\circ) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
Поскольку $\frac{\sqrt{3}}{2} \neq \frac{1}{2}$, равенство не является тождеством. Ответ: неверно.

Данное равенство также неверно. Воспользуемся тем же контрпримером: $\alpha = 90^\circ$ и $\beta = 30^\circ$.
Левая часть, как мы уже знаем, равна $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Вычислим правую часть:
$\sin\alpha - \cos\beta = \sin(90^\circ) - \cos(30^\circ) = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Поскольку $\frac{\sqrt{3}}{2} \neq 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$, равенство неверно. Ответ: неверно.

Это равенство является одной из основных тригонометрических формул — формулой синуса разности двух углов. Она верна для любых значений углов $\alpha$ и $\beta$.
Проверим её на нашем примере: $\alpha = 90^\circ$ и $\beta = 30^\circ$.
Левая часть: $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Правая часть:
$\sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta = \sin(90^\circ)\cos(30^\circ) - \cos(90^\circ)\sin(30^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Левая и правая части равны, что подтверждает верность формулы для данного случая. Это равенство является тождеством. Ответ: верно.

Данное равенство неверно. Правая часть равенства представляет собой формулу для $-\cos(\alpha + \beta)$, то есть $-(\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta)$.
Проверим с помощью нашего контрпримера: $\alpha = 90^\circ$ и $\beta = 30^\circ$.
Левая часть: $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Правая часть:
$\sin\alpha \sin\beta - \cos\alpha \cos\beta = \sin(90^\circ)\sin(30^\circ) - \cos(90^\circ)\cos(30^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} - 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2}$.
Поскольку $\frac{\sqrt{3}}{2} \neq \frac{1}{2}$, равенство неверно. Ответ: неверно.