Номер 1.414, страница 136 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.414. Вычислите:

а) $ \sin 75^\circ $;

б) $ \cos 105^\circ $;

в) $ \operatorname{tg} 15^\circ $.

а) sin 75°
Для вычисления значения $\sin 75^\circ$ представим этот угол в виде суммы двух стандартных углов, для которых тригонометрические функции известны: $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$.
Воспользуемся формулой синуса суммы:
$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$
Подставим $\alpha = 45^\circ$ и $\beta = 30^\circ$:
$\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ$
Используем известные значения:

• $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

Подставляем эти значения в формулу:
$\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
Ответ: $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

б) cos 105°
Для вычисления значения $\cos 105^\circ$ представим этот угол в виде суммы двух стандартных углов: $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$.
Воспользуемся формулой косинуса суммы:
$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$
Подставим $\alpha = 60^\circ$ и $\beta = 45^\circ$:
$\cos(105^\circ) = \cos(60^\circ + 45^\circ) = \cos 60^\circ \cos 45^\circ - \sin 60^\circ \sin 45^\circ$
Используем известные значения:

• $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$
• $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставляем эти значения в формулу:
$\cos 105^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$
Ответ: $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

в) tg 15°
Для вычисления значения $\tg 15^\circ$ представим этот угол в виде разности двух стандартных углов: $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$.
Воспользуемся формулой тангенса разности:
$\tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg \alpha - \tg \beta}{1 + \tg \alpha \tg \beta}$
Подставим $\alpha = 45^\circ$ и $\beta = 30^\circ$:
$\tg(15^\circ) = \tg(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\tg 45^\circ - \tg 30^\circ}{1 + \tg 45^\circ \tg 30^\circ}$
Используем известные значения:

• $\tg 45^\circ = 1$
• $\tg 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Подставляем эти значения в формулу:
$\tg 15^\circ = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$
Чтобы упростить выражение, избавимся от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $(3 - \sqrt{3})$:
$\tg 15^\circ = \frac{(3 - \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})} = \frac{(3 - \sqrt{3})^2}{3^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{9 - 6\sqrt{3} + 3}{9 - 3} = \frac{12 - 6\sqrt{3}}{6} = \frac{6(2 - \sqrt{3})}{6} = 2 - \sqrt{3}$
Ответ: $2 - \sqrt{3}$