Номер 1.421, страница 137 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.421. Рациональным или иррациональным числом является значение выражения:

а) $\frac{\sin 40^\circ \sin 5^\circ - \cos 40^\circ \cos 5^\circ}{\sin 20^\circ \cos 40^\circ + \sin 40^\circ \cos 20^\circ}$;

б) $\frac{\cos 120^\circ \cos 50^\circ + \sin 120^\circ \sin 50^\circ}{\cos 25^\circ \cos 45^\circ - \sin 25^\circ \sin 45^\circ}$?

а) Чтобы определить, является ли значение выражения рациональным или иррациональным, упростим его, используя тригонометрические формулы сложения углов.

Исходное выражение:

$$ \frac{\sin 40^\circ \sin 5^\circ - \cos 40^\circ \cos 5^\circ}{\sin 20^\circ \cos 40^\circ + \sin 40^\circ \cos 20^\circ} $$

1. Упростим числитель: $ \sin 40^\circ \sin 5^\circ - \cos 40^\circ \cos 5^\circ $.

Вынесем $-1$ за скобки: $ -(\cos 40^\circ \cos 5^\circ - \sin 40^\circ \sin 5^\circ) $.

Выражение в скобках соответствует формуле косинуса суммы: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $.

При $ \alpha = 40^\circ $ и $ \beta = 5^\circ $, получаем:

$$ -(\cos(40^\circ + 5^\circ)) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$

2. Упростим знаменатель: $ \sin 20^\circ \cos 40^\circ + \sin 40^\circ \cos 20^\circ $.

Это выражение соответствует формуле синуса суммы: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta $.

При $ \alpha = 20^\circ $ и $ \beta = 40^\circ $, получаем:

$$ \sin(20^\circ + 40^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

3. Найдем значение дроби:

$$ \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} $$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $ \sqrt{3} $:

$$ -\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{6}}{3} $$

Поскольку $ \sqrt{6} $ является иррациональным числом, то и результат $ -\frac{\sqrt{6}}{3} $ также является иррациональным.

Ответ: иррациональное число ($-\frac{\sqrt{6}}{3}$).

б) Рассмотрим второе выражение:

$$ \frac{\cos 120^\circ \cos 50^\circ + \sin 120^\circ \sin 50^\circ}{\cos 25^\circ \cos 45^\circ - \sin 25^\circ \sin 45^\circ} $$

1. Упростим числитель: $ \cos 120^\circ \cos 50^\circ + \sin 120^\circ \sin 50^\circ $.

Это выражение соответствует формуле косинуса разности: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta $.

При $ \alpha = 120^\circ $ и $ \beta = 50^\circ $, получаем:

$$ \cos(120^\circ - 50^\circ) = \cos(70^\circ) $$

2. Упростим знаменатель: $ \cos 25^\circ \cos 45^\circ - \sin 25^\circ \sin 45^\circ $.

Это выражение соответствует формуле косинуса суммы: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $.

При $ \alpha = 25^\circ $ и $ \beta = 45^\circ $, получаем:

$$ \cos(25^\circ + 45^\circ) = \cos(70^\circ) $$

3. Найдем значение дроби:

$$ \frac{\cos(70^\circ)}{\cos(70^\circ)} = 1 $$

Так как $ 70^\circ $ не является углом, косинус которого равен нулю ($ 70^\circ \neq 90^\circ + 180^\circ n $, где $ n $ — целое число), деление возможно.

Результат равен $ 1 $, что является целым, а следовательно, и рациональным числом. Число 1 можно представить в виде неправильной дроби $ \frac{1}{1} $, целая часть которой равна 1.

Ответ: рациональное число, целая часть равна 1.