Номер 1.425, страница 138 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.425. Найдите нули функции:

a) $y = \cos 6x \cos 5x + \sin 6x \sin 5x + 1$;

б) $y = \sin\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right)\cos x + \sin 2x \sin(\pi + x) + \frac{\sqrt{3}}{2}$.

а)Чтобы найти нули функции, нужно приравнять ее к нулю:$y = \cos 6x \cos 5x + \sin 6x \sin 5x + 1 = 0$

Выражение $\cos 6x \cos 5x + \sin 6x \sin 5x$ является правой частью формулы косинуса разности:$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$

Применим эту формулу, где $\alpha = 6x$ и $\beta = 5x$:$\cos(6x - 5x) + 1 = 0$

$\cos x + 1 = 0$

$\cos x = -1$

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является:$x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б)Приравняем функцию к нулю:$y = \sin(\frac{\pi}{2} - 2x)\cos x + \sin 2x \sin(\pi + x) + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

Упростим выражение, используя формулы приведения:

• $\sin(\frac{\pi}{2} - 2x) = \cos 2x$
• $\sin(\pi + x) = -\sin x$

Подставим полученные выражения в уравнение:$\cos 2x \cdot \cos x + \sin 2x \cdot (-\sin x) + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

$\cos 2x \cos x - \sin 2x \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

Выражение $\cos 2x \cos x - \sin 2x \sin x$ является правой частью формулы косинуса суммы:$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

Применим эту формулу, где $\alpha = 2x$ и $\beta = x$:$\cos(2x + x) + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

$\cos 3x + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

$\cos 3x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Решим это уравнение:$3x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$3x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$

Разделим обе части на 3, чтобы найти $x$:$x = \pm \frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.