Номер 1.430, страница 138 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.430. Найдите значение выражения

$ \frac{\cos\frac{7\pi}{24}\cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{\pi}{8}\cdot\sin\frac{7\pi}{24}}{\sin\frac{\pi}{5}\cos\frac{3\pi}{10} + \cos\frac{\pi}{5}\cdot\sin\frac{3\pi}{10}} $

Для решения данной задачи необходимо применить тригонометрические формулы сложения и вычитания аргументов:

• Формула косинуса разности: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta $
• Формула синуса суммы: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta $

Упрощение числителя

Рассмотрим числитель дроби: $ \cos\frac{7\pi}{24}\cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{\pi}{8}\sin\frac{7\pi}{24} $.
Поменяв множители во втором слагаемом, получим $ \cos\frac{7\pi}{24}\cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{7\pi}{24}\sin\frac{\pi}{8} $.
Это выражение соответствует формуле косинуса разности, где $ \alpha = \frac{7\pi}{24} $ и $ \beta = \frac{\pi}{8} $.
Применяем формулу: $ \cos\left(\frac{7\pi}{24} - \frac{\pi}{8}\right) $.
Приводим дроби в аргументе к общему знаменателю 24: $ \cos\left(\frac{7\pi}{24} - \frac{3\pi}{24}\right) = \cos\left(\frac{4\pi}{24}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) $.
Значение косинуса является табличным: $ \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Упрощение знаменателя

Рассмотрим знаменатель дроби: $ \sin\frac{\pi}{5}\cos\frac{3\pi}{10} + \cos\frac{\pi}{5}\sin\frac{3\pi}{10} $.
Это выражение соответствует формуле синуса суммы, где $ \alpha = \frac{\pi}{5} $ и $ \beta = \frac{3\pi}{10} $.
Применяем формулу: $ \sin\left(\frac{\pi}{5} + \frac{3\pi}{10}\right) $.
Приводим дроби в аргументе к общему знаменателю 10: $ \sin\left(\frac{2\pi}{10} + \frac{3\pi}{10}\right) = \sin\left(\frac{5\pi}{10}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) $.
Значение синуса является табличным: $ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $.

Вычисление итогового значения

Теперь подставим полученные значения числителя и знаменателя в исходную дробь:

$ \frac{\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $.