Номер 1.437, страница 139 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.437. Вычислите, используя формулы сложения:

a) $ \sin 61^\circ \cos 31^\circ - \sin 31^\circ \cos 61^\circ $;

б) $ \cos 29^\circ \cos 74^\circ + \sin 29^\circ \sin 74^\circ $;

в) $ \frac{\tan 1^\circ - \tan 46^\circ}{1 + \tan 1^\circ \tan 46^\circ} $.

а) Для вычисления данного выражения воспользуемся формулой синуса разности углов:
$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$
В выражении $\sin61^\circ\cos31^\circ - \sin31^\circ\cos61^\circ$ мы видим, что $\alpha = 61^\circ$ и $\beta = 31^\circ$.
Применим формулу:
$\sin61^\circ\cos31^\circ - \sin31^\circ\cos61^\circ = \sin(61^\circ - 31^\circ) = \sin(30^\circ)$
Значение $\sin(30^\circ)$ является табличным и равно $\frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

б) Для вычисления данного выражения воспользуемся формулой косинуса разности углов:
$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$
В выражении $\cos29^\circ\cos74^\circ + \sin29^\circ\sin74^\circ$ мы видим, что $\alpha = 74^\circ$ и $\beta = 29^\circ$ (или наоборот, результат не изменится).
Применим формулу:
$\cos29^\circ\cos74^\circ + \sin29^\circ\sin74^\circ = \cos(74^\circ - 29^\circ) = \cos(45^\circ)$
Значение $\cos(45^\circ)$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

в) Для вычисления данного выражения воспользуемся формулой тангенса разности углов:
$\operatorname{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta}{1 + \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}$
В выражении $\frac{\operatorname{tg}1^\circ - \operatorname{tg}46^\circ}{1 + \operatorname{tg}1^\circ\operatorname{tg}46^\circ}$ мы видим, что $\alpha = 1^\circ$ и $\beta = 46^\circ$.
Применим формулу:
$\frac{\operatorname{tg}1^\circ - \operatorname{tg}46^\circ}{1 + \operatorname{tg}1^\circ\operatorname{tg}46^\circ} = \operatorname{tg}(1^\circ - 46^\circ) = \operatorname{tg}(-45^\circ)$
Тангенс — нечетная функция, поэтому $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg}(x)$. Следовательно:
$\operatorname{tg}(-45^\circ) = -\operatorname{tg}(45^\circ)$
Значение $\operatorname{tg}(45^\circ)$ является табличным и равно $1$.
Таким образом, результат равен $-1$.
Ответ: -1