Номер 1.443, страница 139 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.443. Упростите выражение:

а) $\frac{1}{2}\sin\alpha + \cos\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right)$;

б) $\sin\alpha - \cos\alpha - \sqrt{2}\sin(45^\circ - \alpha)$.

а) Для упрощения выражения $\frac{1}{2}\sin\alpha + \cos(\frac{\pi}{6} + \alpha)$ воспользуемся формулой косинуса суммы: $\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$.

Применим эту формулу ко второму члену выражения, где $x = \frac{\pi}{6}$ и $y = \alpha$:

$\cos(\frac{\pi}{6} + \alpha) = \cos\frac{\pi}{6}\cos\alpha - \sin\frac{\pi}{6}\sin\alpha$

Мы знаем значения тригонометрических функций для угла $\frac{\pi}{6}$ (что соответствует $30^\circ$):

$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

Подставим эти значения в разложенное выражение:

$\cos(\frac{\pi}{6} + \alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha - \frac{1}{2}\sin\alpha$

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$\frac{1}{2}\sin\alpha + \cos(\frac{\pi}{6} + \alpha) = \frac{1}{2}\sin\alpha + (\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha - \frac{1}{2}\sin\alpha)$

Приведем подобные слагаемые. Члены с $\sin\alpha$ взаимно уничтожаются:

$\frac{1}{2}\sin\alpha - \frac{1}{2}\sin\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha$.

б) Упростим выражение $\sin\alpha - \cos\alpha - \sqrt{2}\sin(45^\circ - \alpha)$.

Сначала преобразуем разность $\sin\alpha - \cos\alpha$ с помощью метода введения вспомогательного угла. Для этого вынесем за скобки множитель $\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$:

$\sin\alpha - \cos\alpha = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\alpha - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos\alpha)$

Заметим, что $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, и это значение соответствует $\cos 45^\circ$ и $\sin 45^\circ$. Используем формулу синуса разности $\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$:

$\sqrt{2}(\sin\alpha \cos 45^\circ - \cos\alpha \sin 45^\circ) = \sqrt{2}\sin(\alpha - 45^\circ)$

Теперь подставим это преобразованное выражение обратно в исходное:

$\sqrt{2}\sin(\alpha - 45^\circ) - \sqrt{2}\sin(45^\circ - \alpha)$

Воспользуемся свойством нечетности функции синуса: $\sin(-x) = -\sin x$. Тогда $\sin(\alpha - 45^\circ) = \sin(-(45^\circ - \alpha)) = -\sin(45^\circ - \alpha)$.

Заменим $\sin(\alpha - 45^\circ)$ в нашем выражении:

$\sqrt{2}(-\sin(45^\circ - \alpha)) - \sqrt{2}\sin(45^\circ - \alpha) = -\sqrt{2}\sin(45^\circ - \alpha) - \sqrt{2}\sin(45^\circ - \alpha)$

Сложим подобные члены:

$-2\sqrt{2}\sin(45^\circ - \alpha)$

Ответ: $-2\sqrt{2}\sin(45^\circ - \alpha)$.