Номер 1.448, страница 140 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.448. Найдите все корни уравнения $ \cos 5x \sin \left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) + \sin 5x \sin 2x = \frac{1}{2} $

Для решения данного уравнения, начнем с его упрощения. Исходное уравнение:$ \cos(5x)\sin(\frac{\pi}{2} - 2x) + \sin(5x)\sin(2x) = \frac{1}{2} $

Первым шагом воспользуемся формулой приведения для синуса: $ \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\alpha) $. Применив эту формулу к члену $ \sin(\frac{\pi}{2} - 2x) $, получаем:$ \sin(\frac{\pi}{2} - 2x) = \cos(2x) $

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:$ \cos(5x)\cos(2x) + \sin(5x)\sin(2x) = \frac{1}{2} $

Левая часть уравнения имеет вид, соответствующий формуле косинуса разности двух углов: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta $. В данном случае $ \alpha = 5x $ и $ \beta = 2x $, поэтому уравнение можно преобразовать к виду:$ \cos(5x - 2x) = \frac{1}{2} $$ \cos(3x) = \frac{1}{2} $

Получили простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения вида $ \cos(y) = a $ (где $ |a| \le 1 $) записывается как $ y = \pm\arccos(a) + 2\pi k $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $). В нашем уравнении $ y = 3x $ и $ a = \frac{1}{2} $. Значение $ \arccos(\frac{1}{2}) $ равно $ \frac{\pi}{3} $. Следовательно, получаем:$ 3x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Для того чтобы найти $ x $, разделим обе части полученного равенства на 3:$ x = \frac{\pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k}{3} = \pm\frac{\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \pm\frac{\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} $