Номер 1.453, страница 140 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.453. Упростите выражение

$\frac{2\cos\alpha\sin\beta + \sin(\alpha - \beta)}{2\cos\alpha\cos\beta - \cos(\alpha - \beta)}.$

Для упрощения данного выражения воспользуемся тригонометрическими формулами сложения и вычитания углов.

Исходное выражение:

$$ \frac{2\cos\alpha\sin\beta + \sin(\alpha - \beta)}{2\cos\alpha\cos\beta - \cos(\alpha - \beta)} $$

Шаг 1: Преобразуем числитель.

Применим формулу синуса разности: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $.
Подставим ее в числитель: $$ 2\cos\alpha\sin\beta + (\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta) $$ Приведем подобные слагаемые: $$ (2\cos\alpha\sin\beta - \cos\alpha\sin\beta) + \sin\alpha\cos\beta = \cos\alpha\sin\beta + \sin\alpha\cos\beta $$ Свернем полученное выражение по формуле синуса суммы $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta $.
Таким образом, числитель равен $ \sin(\alpha + \beta) $.

Шаг 2: Преобразуем знаменатель.

Применим формулу косинуса разности: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta $.
Подставим ее в знаменатель и раскроем скобки: $$ 2\cos\alpha\cos\beta - (\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) = 2\cos\alpha\cos\beta - \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $$ Приведем подобные слагаемые: $$ (2\cos\alpha\cos\beta - \cos\alpha\cos\beta) - \sin\alpha\sin\beta = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $$ Свернем полученное выражение по формуле косинуса суммы $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $.
Таким образом, знаменатель равен $ \cos(\alpha + \beta) $.

Шаг 3: Завершение упрощения.

Подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в исходную дробь: $$ \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} $$ По определению тангенса $ \left(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\right) $, полученное выражение равно $ \tan(\alpha + \beta) $.

Ответ: $ \tan(\alpha + \beta) $.