Номер 1.458, страница 141 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.458. Упростите выражение $ \sin \left(\alpha+\frac{2 \pi}{3}\right)-\sin \left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right) $.

Для упрощения данного выражения можно использовать несколько способов. Рассмотрим два из них.

Способ 1: Использование формулы разности синусов

Воспользуемся формулой преобразования разности тригонометрических функций в произведение:

$\sin(x) - \sin(y) = 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \sin\left(\frac{x-y}{2}\right)$

В нашем выражении $\sin\left(\alpha + \frac{2\pi}{3}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)$ примем:

$x = \alpha + \frac{2\pi}{3}$

$y = \frac{\pi}{3} - \alpha$

Теперь найдем полусумму и полуразность аргументов $x$ и $y$:

$\frac{x+y}{2} = \frac{(\alpha + \frac{2\pi}{3}) + (\frac{\pi}{3} - \alpha)}{2} = \frac{\alpha - \alpha + \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3}}{2} = \frac{\frac{3\pi}{3}}{2} = \frac{\pi}{2}$

$\frac{x-y}{2} = \frac{(\alpha + \frac{2\pi}{3}) - (\frac{\pi}{3} - \alpha)}{2} = \frac{\alpha + \alpha + \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3}}{2} = \frac{2\alpha + \frac{\pi}{3}}{2} = \alpha + \frac{\pi}{6}$

Подставим полученные значения обратно в формулу разности синусов:

$\sin\left(\alpha + \frac{2\pi}{3}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) = 2 \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right)$

Мы знаем, что значение косинуса угла $\frac{\pi}{2}$ равно нулю:

$\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$

Следовательно, все произведение равно нулю:

$2 \cdot 0 \cdot \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) = 0$

Способ 2: Использование формул синуса суммы и разности

Раскроем каждый синус в выражении, используя формулы:

$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$

$\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$

Для первого слагаемого $\sin\left(\alpha + \frac{2\pi}{3}\right)$:

$\sin\left(\alpha + \frac{2\pi}{3}\right) = \sin\alpha \cos\frac{2\pi}{3} + \cos\alpha \sin\frac{2\pi}{3}$

Поскольку $\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$ и $\sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$\sin\left(\alpha + \frac{2\pi}{3}\right) = \sin\alpha \left(-\frac{1}{2}\right) + \cos\alpha \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{1}{2}\sin\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha$

Для второго слагаемого $\sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)$:

$\sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) = \sin\frac{\pi}{3} \cos\alpha - \cos\frac{\pi}{3} \sin\alpha$

Поскольку $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, получаем:

$\sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha - \frac{1}{2}\sin\alpha$

Теперь вычтем второе выражение из первого:

$\left(-\frac{1}{2}\sin\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha\right) - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha - \frac{1}{2}\sin\alpha\right) = -\frac{1}{2}\sin\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{1}{2}\sin\alpha$

Приводим подобные члены:

$\left(-\frac{1}{2}\sin\alpha + \frac{1}{2}\sin\alpha\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha\right) = 0 + 0 = 0$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 0