Номер 1.459, страница 141 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.459*. Найдите сумму корней уравнения $ \sin 5x \cos 2x = \cos 5x \sin 2x $, принадлежащих промежутку $ (0; \pi) $.

Данное уравнение $ \sin(5x) \cos(2x) = \cos(5x) \sin(2x) $ можно преобразовать, перенеся все члены в одну сторону:

$ \sin(5x) \cos(2x) - \cos(5x) \sin(2x) = 0 $

Левая часть уравнения представляет собой формулу синуса разности двух углов: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) - \cos(\alpha)\sin(\beta) $.

Применим эту формулу, приняв $ \alpha = 5x $ и $ \beta = 2x $:

$ \sin(5x - 2x) = 0 $

$ \sin(3x) = 0 $

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней, где аргумент синуса равен $ n\pi $, где $ n $ — любое целое число ($ n \in Z $).

$ 3x = n\pi $

Отсюда находим общее решение для $ x $:

$ x = \frac{n\pi}{3}, n \in Z $

Теперь необходимо отобрать корни, которые принадлежат заданному промежутку $ (0, \pi) $. Для этого решим двойное неравенство:

$ 0 < x < \pi $

Подставим выражение для $ x $:

$ 0 < \frac{n\pi}{3} < \pi $

Разделим все части неравенства на положительное число $ \pi $:

$ 0 < \frac{n}{3} < 1 $

Умножим все части неравенства на 3:

$ 0 < n < 3 $

Поскольку $ n $ должно быть целым числом, этому условию удовлетворяют значения $ n=1 $ и $ n=2 $.

Найдем соответствующие корни уравнения:

• При $ n = 1 \Rightarrow x_1 = \frac{1 \cdot \pi}{3} = \frac{\pi}{3} $
• При $ n = 2 \Rightarrow x_2 = \frac{2 \cdot \pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $

Оба корня $ \frac{\pi}{3} $ и $ \frac{2\pi}{3} $ принадлежат интервалу $ (0, \pi) $.

Найдем сумму этих корней:

$ S = x_1 + x_2 = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} = \pi $

Сумма корней: Ответ: $ \pi $