Номер 1.456, страница 140 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.456. Докажите тождество $\frac{\cos\alpha - \sqrt{2} \cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)}{2\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right) - \sqrt{3}\sin\alpha} = -\operatorname{tg}\alpha$.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала упростим числитель, затем знаменатель.

1. Упрощение числителя

Выражение в числителе: $ \cos\alpha - \sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{4} + \alpha) $.

Для преобразования $ \cos(\frac{\pi}{4} + \alpha) $ используем формулу косинуса суммы: $ \cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y $.

В нашем случае $ x = \frac{\pi}{4} $ и $ y = \alpha $.

$$ \cos(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \cos\frac{\pi}{4}\cos\alpha - \sin\frac{\pi}{4}\sin\alpha $$

Так как $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $, подставляем эти значения в формулу:

$$ \cos(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha - \sin\alpha) $$

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение числителя:

$$ \cos\alpha - \sqrt{2} \cdot \left( \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha - \sin\alpha) \right) $$$$ = \cos\alpha - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2}(\cos\alpha - \sin\alpha) $$$$ = \cos\alpha - \frac{2}{2}(\cos\alpha - \sin\alpha) $$$$ = \cos\alpha - (\cos\alpha - \sin\alpha) $$$$ = \cos\alpha - \cos\alpha + \sin\alpha = \sin\alpha $$

Таким образом, числитель дроби равен $ \sin\alpha $.

2. Упрощение знаменателя

Выражение в знаменателе: $ 2\sin(\alpha - \frac{\pi}{6}) - \sqrt{3}\sin\alpha $.

Для преобразования $ \sin(\alpha - \frac{\pi}{6}) $ используем формулу синуса разности: $ \sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y $.

В нашем случае $ x = \alpha $ и $ y = \frac{\pi}{6} $.

$$ \sin(\alpha - \frac{\pi}{6}) = \sin\alpha\cos\frac{\pi}{6} - \cos\alpha\sin\frac{\pi}{6} $$

Так как $ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $, подставляем эти значения:

$$ \sin(\alpha - \frac{\pi}{6}) = \sin\alpha \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos\alpha \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}\sin\alpha - \cos\alpha}{2} $$

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение знаменателя:

$$ 2 \cdot \left( \frac{\sqrt{3}\sin\alpha - \cos\alpha}{2} \right) - \sqrt{3}\sin\alpha $$$$ = (\sqrt{3}\sin\alpha - \cos\alpha) - \sqrt{3}\sin\alpha $$$$ = \sqrt{3}\sin\alpha - \cos\alpha - \sqrt{3}\sin\alpha = -\cos\alpha $$

Таким образом, знаменатель дроби равен $ -\cos\alpha $.

3. Итоговое выражение

Подставим упрощенные числитель и знаменатель в левую часть исходного тождества:

$$ \frac{\cos\alpha - \sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{4} + \alpha)}{2\sin(\alpha - \frac{\pi}{6}) - \sqrt{3}\sin\alpha} = \frac{\sin\alpha}{-\cos\alpha} $$

По определению тангенса, $ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $. Следовательно:

$$ \frac{\sin\alpha}{-\cos\alpha} = -\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = -\tan\alpha $$

Мы показали, что левая часть тождества равна его правой части.

Что и требовалось доказать.