Номер 1.451, страница 140 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.451. Постройте график функции

$y = \sin 3x \cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) - \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)\cos 3x.$

а) Упрощение функции Ответ:

Исходная функция задана уравнением: $y = \sin(3x)\cos(2x + \frac{\pi}{6}) - \sin(2x + \frac{\pi}{6})\cos(3x)$.

Данное выражение полностью соответствует тригонометрической формуле синуса разности двух углов:

$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$

В нашем случае в качестве $\alpha$ и $\beta$ выступают следующие выражения:

$\alpha = 3x$

$\beta = 2x + \frac{\pi}{6}$

Применим формулу синуса разности, подставив в нее наши значения $\alpha$ и $\beta$:

$y = \sin(3x - (2x + \frac{\pi}{6}))$

Далее раскроем скобки в аргументе синуса:

$y = \sin(3x - 2x - \frac{\pi}{6})$

После упрощения получаем итоговый вид функции:

$y = \sin(x - \frac{\pi}{6})$

б) Построение графика Ответ:

График функции $y = \sin(x - \frac{\pi}{6})$ можно построить, выполнив преобразование (сдвиг) графика базовой функции $y = \sin(x)$.

Порядок построения:

1. Сначала строится график функции $y = \sin(x)$. Это стандартная синусоида, которая является периодической с периодом $T=2\pi$, имеет амплитуду, равную 1 (область значений $E(y) = [-1; 1]$), и проходит через начало координат.
2. Затем выполняется параллельный перенос построенного графика $y = \sin(x)$ вдоль оси абсцисс (Ox). Так как аргумент функции имеет вид $(x - \frac{\pi}{6})$, сдвиг осуществляется на величину $\frac{\pi}{6}$ вправо.

Ключевые точки графика $y = \sin(x - \frac{\pi}{6})$ на одном периоде $[\frac{\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}]$:

• Начало периода (пересечение с осью Ox): Точка $(0,0)$ на графике $y = \sin(x)$ смещается в точку $(\frac{\pi}{6}, 0)$.
• Точка максимума ($y=1$): Максимум функции $y = \sin(x)$ в точке $x = \frac{\pi}{2}$ смещается в $x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi+\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$. Координаты точки: $(\frac{2\pi}{3}, 1)$.
• Пересечение с осью Ox (второе): Ноль функции $y = \sin(x)$ в точке $x = \pi$ смещается в $x = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$. Преобразуем в смешанное число: $x = \frac{7\pi}{6} = \mathbf{1}\frac{1}{6}\pi$. Координаты точки: $(\mathbf{1}\frac{1}{6}\pi, 0)$.
• Точка минимума ($y=-1$): Минимум функции $y = \sin(x)$ в точке $x = \frac{3\pi}{2}$ смещается в $x = \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{9\pi+\pi}{6} = \frac{10\pi}{6} = \frac{5\pi}{3}$. Преобразуем в смешанное число: $x = \frac{5\pi}{3} = \mathbf{1}\frac{2}{3}\pi$. Координаты точки: $(\mathbf{1}\frac{2}{3}\pi, -1)$.
• Конец периода (пересечение с осью Ox): Точка $(2\pi,0)$ на графике $y = \sin(x)$ смещается в $x = 2\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{13\pi}{6}$. Преобразуем в смешанное число: $x = \frac{13\pi}{6} = \mathbf{2}\frac{1}{6}\pi$. Координаты точки: $(\mathbf{2}\frac{1}{6}\pi, 0)$.