Номер 1.457, страница 141 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.457. Вычислите:

$\frac{\sin 22^\circ \cos 8^\circ + \cos 158^\circ \cos 98^\circ}{\sin 23^\circ \cos 7^\circ + \cos 157^\circ \cos 97^\circ}$

Для вычисления значения данного выражения необходимо последовательно упростить числитель и знаменатель дроби, используя тригонометрические формулы.

Рассмотрим числитель: $ \sin22^\circ\cos8^\circ + \cos158^\circ\cos98^\circ $.
Используем формулы приведения:

• $ \cos158^\circ = \cos(180^\circ - 22^\circ) = -\cos22^\circ $
• $ \cos98^\circ = \cos(90^\circ + 8^\circ) = -\sin8^\circ $

Подставив эти выражения в числитель, получаем:
$ \sin22^\circ\cos8^\circ + (-\cos22^\circ)(-\sin8^\circ) = \sin22^\circ\cos8^\circ + \cos22^\circ\sin8^\circ $
Это выражение является развернутой формулой синуса суммы углов: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta $.
Применив эту формулу, находим значение числителя:
$ \sin(22^\circ + 8^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} $

Теперь рассмотрим знаменатель: $ \sin23^\circ\cos7^\circ + \cos157^\circ\cos97^\circ $.
Действуем аналогично, используя формулы приведения:

• $ \cos157^\circ = \cos(180^\circ - 23^\circ) = -\cos23^\circ $
• $ \cos97^\circ = \cos(90^\circ + 7^\circ) = -\sin7^\circ $

Подставляем в знаменатель:
$ \sin23^\circ\cos7^\circ + (-\cos23^\circ)(-\sin7^\circ) = \sin23^\circ\cos7^\circ + \cos23^\circ\sin7^\circ $
Это также формула синуса суммы углов, применив которую, получаем:
$ \sin(23^\circ + 7^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} $

Наконец, вычислим значение всей дроби, подставив найденные значения числителя и знаменателя:
$$ \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1 $$

Ответ: 1