Номер 1.460, страница 141 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.460*. Найдите $tg(\alpha + \frac{\pi}{4})$, если известно, что $cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$ и $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

Для нахождения значения $tg(\alpha + \frac{\pi}{4})$ воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов:

$$tg(x+y) = \frac{tg(x) + tg(y)}{1 - tg(x) \cdot tg(y)}$$

В нашем случае $x = \alpha$ и $y = \frac{\pi}{4}$. Формула принимает вид:

$$tg(\alpha + \frac{\pi}{4}) = \frac{tg(\alpha) + tg(\frac{\pi}{4})}{1 - tg(\alpha) \cdot tg(\frac{\pi}{4})}$$

Мы знаем, что значение тангенса угла $\frac{\pi}{4}$ равно 1:

$$tg(\frac{\pi}{4}) = 1$$

Подставим это значение в формулу:

$$tg(\alpha + \frac{\pi}{4}) = \frac{tg(\alpha) + 1}{1 - tg(\alpha) \cdot 1} = \frac{1 + tg(\alpha)}{1 - tg(\alpha)}$$

Теперь нам необходимо найти $tg(\alpha)$, зная, что $cos(\alpha) = \frac{2}{\sqrt{5}}$ и $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

Условие $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ означает, что угол $\alpha$ находится в первой координатной четверти, где все тригонометрические функции (синус, косинус и тангенс) имеют положительные значения.

Найдем $sin(\alpha)$ с помощью основного тригонометрического тождества $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$:

$$sin^2(\alpha) = 1 - cos^2(\alpha) = 1 - \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$$

Так как $\alpha$ находится в первой четверти, $sin(\alpha)$ положителен:

$$sin(\alpha) = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$$

Теперь найдем $tg(\alpha)$ по определению $tg(\alpha) = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}$:

$$tg(\alpha) = \frac{\frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{2}{\sqrt{5}}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{1}{2}$$

Наконец, подставим найденное значение $tg(\alpha) = \frac{1}{2}$ в формулу для $tg(\alpha + \frac{\pi}{4})$:

$$tg(\alpha + \frac{\pi}{4}) = \frac{1 + \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3$$

Ответ: 3