Номер 1.465, страница 141 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.465. С помощью метода интервалов решите неравенство $\frac{(x-1)(x-2)}{(x+3)^2} \ge 0.$

Для решения неравенства $ \frac{(x-1)(x-2)}{(x+3)^2} \ge 0 $ воспользуемся методом интервалов.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

   Знаменатель дроби не должен равняться нулю, поэтому:

   $ (x+3)^2 \neq 0 $

   $ x+3 \neq 0 $

   $ x \neq -3 $

   Таким образом, ОДЗ: $ x \in (-\infty, -3) \cup (-3, +\infty) $.

2. Найдем нули числителя и знаменателя.

   Обозначим левую часть неравенства как функцию $ f(x) = \frac{(x-1)(x-2)}{(x+3)^2} $.

   Приравняем числитель к нулю, чтобы найти точки, в которых функция равна нулю:

   $ (x-1)(x-2) = 0 $

   Отсюда получаем корни $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = 2 $. Так как неравенство нестрогое ($ \ge $), эти точки будут включены в решение (на числовой оси они отмечаются закрашенными точками).

   Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти точки, в которых функция не определена (точки разрыва):

   $ (x+3)^2 = 0 $

   Отсюда получаем корень $ x_3 = -3 $. Эта точка исключается из решения (на числовой оси она отмечается выколотой, или пустой, точкой).

3. Нанесем найденные точки на числовую ось и определим знаки функции в полученных интервалах.

   Отметим точки -3, 1, 2 на числовой оси в порядке возрастания. Они разбивают ось на четыре интервала: $ (-\infty, -3) $, $ (-3, 1) $, $ (1, 2) $ и $ (2, +\infty) $.

   Определим знак функции $ f(x) $ в каждом интервале. Заметим, что корень $ x = -3 $ имеет четную кратность (2), поэтому при переходе через эту точку знак функции сохраняется. Корни $ x = 1 $ и $ x = 2 $ имеют нечетную кратность (1), поэтому знак будет чередоваться.

   • Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала $ (2, +\infty) $, например, $ x = 4 $:
     $ f(4) = \frac{(4-1)(4-2)}{(4+3)^2} = \frac{3 \cdot 2}{7^2} = \frac{6}{49} > 0 $. Знак «+».
   • Интервал $ (1, 2) $: знак меняется на «-».
   • Интервал $ (-3, 1) $: знак меняется на «+».
   • Интервал $ (-\infty, -3) $: знак не меняется (из-за четной кратности корня -3) и остается «+».

   Схематично знаки на числовой оси выглядят так:

   + + - +
   -----o---------•---------•---->
   -3 1 2

4. Запишем решение.

   Мы ищем значения $ x $, при которых неравенство $ f(x) \ge 0 $ верно. Это происходит в интервалах, где стоит знак «+», а также в точках, где $ f(x)=0 $.

   Из схемы видно, что это промежутки $ (-\infty, -3) $, $ (-3, 1] $ и $ [2, +\infty) $. Точка $ x=-3 $ не входит в решение, так как является точкой разрыва. Точки $ x=1 $ и $ x=2 $ входят в решение, так как неравенство нестрогое.

Ответ: $ x \in (-\infty, -3) \cup (-3, 1] \cup [2, +\infty) $