Номер 1.468, страница 141 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.468. Внесите множитель под знак корня:

а) $\frac{2}{3}\sqrt{18};$

б) $\frac{1}{b}\sqrt{b};$

в) $x\sqrt{a^2}$, если $x < 0;$

г) $(7-a)\sqrt{\frac{1}{a-7}};$

д) $x\sqrt{-x^3}.$

а) Так как множитель $\frac{2}{3}$ является положительным числом, для внесения его под знак корня необходимо возвести его в квадрат и умножить на подкоренное выражение:

$\frac{2}{3}\sqrt{18} = \sqrt{(\frac{2}{3})^2 \cdot 18} = \sqrt{\frac{4}{9} \cdot 18} = \sqrt{\frac{4 \cdot 18}{9}} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{8}$

Ответ: $\sqrt{8}$

б) Для того чтобы выражение имело смысл, должны выполняться условия: $b \ge 0$ (из-за корня) и $b \ne 0$ (из-за знаменателя). Таким образом, область определения: $b > 0$.
При $b > 0$ множитель $\frac{1}{b}$ положителен. Вносим его под корень, возведя в квадрат:

$\frac{1}{b}\sqrt{b} = \sqrt{(\frac{1}{b})^2 \cdot b} = \sqrt{\frac{1}{b^2} \cdot b} = \sqrt{\frac{b}{b^2}} = \sqrt{\frac{1}{b}}$

Ответ: $\sqrt{\frac{1}{b}}$

в) Согласно условию, $x < 0$, то есть множитель является отрицательным. При внесении отрицательного множителя под знак квадратного корня, перед корнем ставится знак "минус", а под корень вносится квадрат этого множителя:

$x\sqrt{a^2} = -\sqrt{x^2 \cdot a^2} = -\sqrt{(xa)^2}$

Ответ: $-\sqrt{x^2a^2}$

г) Область определения выражения задается условием $\frac{1}{a-7} \ge 0$, что выполняется, когда знаменатель $a-7 > 0$, т.е. $a > 7$.
При $a > 7$ множитель $(7-a)$ отрицателен, так как $7-a = -(a-7)$. Следовательно, применяем правило для отрицательного множителя:

$(7-a)\sqrt{\frac{1}{a-7}} = -\sqrt{(7-a)^2 \cdot \frac{1}{a-7}}$

Так как $(7-a)^2 = (a-7)^2$, подставляем и упрощаем:

$-\sqrt{\frac{(a-7)^2}{a-7}} = -\sqrt{a-7}$

Ответ: $-\sqrt{a-7}$

д) Выражение имеет смысл при условии $-x^3 \ge 0$, что равносильно $x^3 \le 0$, и выполняется для всех $x \le 0$.
Если $x < 0$, множитель $x$ отрицателен. Применяем правило для отрицательного множителя:

$x\sqrt{-x^3} = -\sqrt{x^2 \cdot (-x^3)} = -\sqrt{-x^{2+3}} = -\sqrt{-x^5}$

Данная формула также верна для случая $x=0$, так как $0 = -\sqrt{0}$.

Ответ: $-\sqrt{-x^5}$