Номер 1.472, страница 147 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.472. С помощью формулы синуса двойного угла упростите выражение:

а) $2\sin 3\alpha \cos 3\alpha;$

б) $\sin \alpha \cos \alpha;$

в) $2\sin \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)\cos \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right);$

г) $\frac{\sin 2\alpha}{\cos^2 \alpha};$

д) $\frac{\sin 2\alpha - 2\sin \alpha}{\cos \alpha - 1};$

е) $\frac{\sin 2\alpha}{\sin \alpha} - \sin \left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right).$

а) Применяем формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$. В данном выражении аргументом является $3\alpha$, то есть $x = 3\alpha$. Подставляем в формулу: $2\sin(3\alpha)\cos(3\alpha) = \sin(2 \cdot 3\alpha) = \sin(6\alpha)$.
Ответ: $\sin(6\alpha)$.

б) Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$. Чтобы получить выражение $\sin(\alpha)\cos(\alpha)$, нужно разделить обе части формулы на 2: $\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{\sin(2\alpha)}{2}$.
Ответ: $\frac{\sin(2\alpha)}{2}$.

в) Применяем формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$, где $x = \frac{\pi}{4} + \alpha$. $2\sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \sin\left(2\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)\right) = \sin\left(\frac{2\pi}{4} + 2\alpha\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + 2\alpha\right)$. Далее используем формулу приведения: $\sin(\frac{\pi}{2} + y) = \cos(y)$. В нашем случае $y = 2\alpha$, поэтому $\sin\left(\frac{\pi}{2} + 2\alpha\right) = \cos(2\alpha)$.
Ответ: $\cos(2\alpha)$.

г) Раскроем синус двойного угла в числителе, используя формулу $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$: $\frac{\sin(2\alpha)}{\cos^2(\alpha)} = \frac{2\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}$. Сократим общий множитель $\cos(\alpha)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $\cos(\alpha) \neq 0$): $\frac{2\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$. Так как отношение синуса к косинусу равно тангенсу, $\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \tan(\alpha)$, получаем: $2\tan(\alpha)$.
Ответ: $2\tan(\alpha)$.

д) Раскроем синус двойного угла в числителе: $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$. $\frac{\sin(2\alpha) - 2\sin(\alpha)}{\cos(\alpha) - 1} = \frac{2\sin(\alpha)\cos(\alpha) - 2\sin(\alpha)}{\cos(\alpha) - 1}$. Вынесем общий множитель $2\sin(\alpha)$ за скобки в числителе: $\frac{2\sin(\alpha)(\cos(\alpha) - 1)}{\cos(\alpha) - 1}$. Сократим дробь на выражение $(\cos(\alpha) - 1)$ (при условии, что $\cos(\alpha) \neq 1$): $2\sin(\alpha)$.
Ответ: $2\sin(\alpha)$.

е) Упростим выражение по частям. 1. Упростим первое слагаемое $\frac{\sin(2\alpha)}{\sin(\alpha)}$. Раскроем синус двойного угла: $\frac{2\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$. Сокращаем на $\sin(\alpha)$ (при условии, что $\sin(\alpha) \neq 0$) и получаем $2\cos(\alpha)$. 2. Упростим второе слагаемое $\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha)$. Используем формулу приведения $\sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos(x)$: $\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos(\alpha)$. 3. Подставим упрощенные части обратно в исходное выражение: $2\cos(\alpha) - \cos(\alpha) = \cos(\alpha)$.
Ответ: $\cos(\alpha)$.