Номер 1.474, страница 147 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.474. С помощью формулы тангенса двойного угла упростите выражение:

а) $\frac{2\operatorname{tg}7\alpha}{1-\operatorname{tg}^2 7\alpha};$

б) $\frac{2\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)}{1-\operatorname{tg}^2\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)};$

в) $\operatorname{tg}2\alpha(\operatorname{tg}^2 \alpha - 1);$

г) $\operatorname{tg}4\alpha \operatorname{ctg}2\alpha.$

Для решения этого задания воспользуемся формулой тангенса двойного угла:

Применим эту формулу для упрощения каждого выражения.

а) Дано выражение:$$ \frac{2 \operatorname{tg}7\alpha}{1 - \operatorname{tg}^27\alpha} $$Это выражение полностью соответствует правой части формулы тангенса двойного угла, если в качестве аргумента $x$ взять $7\alpha$.
Применяем формулу:$$ \frac{2 \operatorname{tg}(7\alpha)}{1 - \operatorname{tg}^2(7\alpha)} = \operatorname{tg}(2 \cdot 7\alpha) = \operatorname{tg}(14\alpha) $$Ответ: $\operatorname{tg}(14\alpha)$

б) Дано выражение:$$ \frac{2 \operatorname{tg}(\frac{\pi}{4} + \alpha)}{1 - \operatorname{tg}^2(\frac{\pi}{4} + \alpha)} $$Это выражение также соответствует правой части формулы тангенса двойного угла. В данном случае $x = \frac{\pi}{4} + \alpha$.
Применяем формулу:$$ \operatorname{tg}\left(2 \cdot \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{2\pi}{4} + 2\alpha\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} + 2\alpha\right) $$Далее воспользуемся формулой приведения $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{2} + \beta) = -\operatorname{ctg}\beta$.$$ \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} + 2\alpha\right) = -\operatorname{ctg}(2\alpha) $$Ответ: $-\operatorname{ctg}(2\alpha)$

в) Дано выражение:$$ \operatorname{tg}2\alpha(\operatorname{tg}^2\alpha - 1) $$Вынесем знак минус за скобки, чтобы получить выражение, похожее на знаменатель формулы двойного угла:$$ \operatorname{tg}2\alpha(\operatorname{tg}^2\alpha - 1) = -\operatorname{tg}2\alpha(1 - \operatorname{tg}^2\alpha) $$Теперь подставим в выражение формулу тангенса двойного угла для $\operatorname{tg}2\alpha$:$$ \operatorname{tg}2\alpha = \frac{2 \operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} $$Получим:$$ -\left(\frac{2 \operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}\right)(1 - \operatorname{tg}^2\alpha) $$При условии, что $1 - \operatorname{tg}^2\alpha \neq 0$ (т.е. $\alpha \neq \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$), сокращаем дробь:$$ -2 \operatorname{tg}\alpha $$Ответ: $-2 \operatorname{tg}\alpha$

г) Дано выражение:$$ \operatorname{tg}4\alpha \operatorname{ctg}2\alpha $$Запишем котангенс через тангенс, используя тождество $\operatorname{ctg}x = \frac{1}{\operatorname{tg}x}$:$$ \operatorname{tg}4\alpha \operatorname{ctg}2\alpha = \frac{\operatorname{tg}4\alpha}{\operatorname{tg}2\alpha} $$Теперь применим формулу тангенса двойного угла к числителю, представив $4\alpha$ как $2 \cdot (2\alpha)$:$$ \operatorname{tg}4\alpha = \operatorname{tg}(2 \cdot 2\alpha) = \frac{2 \operatorname{tg}2\alpha}{1 - \operatorname{tg}^22\alpha} $$Подставим это в наше выражение:$$ \frac{\frac{2 \operatorname{tg}2\alpha}{1 - \operatorname{tg}^22\alpha}}{\operatorname{tg}2\alpha} = \frac{2 \operatorname{tg}2\alpha}{1 - \operatorname{tg}^22\alpha} \cdot \frac{1}{\operatorname{tg}2\alpha} $$При условии, что $\operatorname{tg}2\alpha \neq 0$ (т.е. $2\alpha \neq k\pi, \alpha \neq \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$), сокращаем $\operatorname{tg}2\alpha$:$$ \frac{2}{1 - \operatorname{tg}^22\alpha} $$Ответ: $\frac{2}{1 - \operatorname{tg}^22\alpha}$