Номер 1.480, страница 148 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.480. Решите уравнение:

а) $sin^2 x + \frac{1}{2} sin 2x = 0;$

б) $sin 2x = 2\sqrt{3} sin^2 x;$

в) $2sin x + sin 2x = cos x + 1;$

г) $cos 2x + sin^2 x = cos x;$

д) $cos 2x = sin x;$

е) $1 + cos 2x = 2cos x.$

а) Исходное уравнение: $sin^2x + \frac{1}{2}sin2x = 0$.
Применим формулу синуса двойного угла $sin2x = 2sinx \cdot cosx$:
$sin^2x + \frac{1}{2}(2sinx \cdot cosx) = 0$
$sin^2x + sinx \cdot cosx = 0$
Вынесем общий множитель $sinx$ за скобки:
$sinx(sinx + cosx) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:
1) $sinx = 0 \implies x = \pi n, n \in Z$.
2) $sinx + cosx = 0 \implies sinx = -cosx$. Разделим обе части на $cosx$ (это допустимо, так как если $cosx=0$, то $sinx=\pm1$, и равенство не выполняется):
$tanx = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in Z$.
Ответ: $x = \pi n, n \in Z$; $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in Z$.

б) Исходное уравнение: $sin2x = 2\sqrt{3}sin^2x$.
Применим формулу синуса двойного угла $sin2x = 2sinx \cdot cosx$:
$2sinx \cdot cosx = 2\sqrt{3}sin^2x$
Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $2sinx$ за скобки:
$2sinx \cdot cosx - 2\sqrt{3}sin^2x = 0$
$2sinx(cosx - \sqrt{3}sinx) = 0$
Получаем два случая:
1) $2sinx = 0 \implies sinx = 0 \implies x = \pi n, n \in Z$.
2) $cosx - \sqrt{3}sinx = 0 \implies cosx = \sqrt{3}sinx$. Разделим обе части на $cosx$ (если $cosx=0$, то и $sinx=0$, что невозможно, так как $sin^2x+cos^2x=1$):
$1 = \sqrt{3}tanx \implies tanx = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies x = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z$.
Ответ: $x = \pi n, n \in Z$; $x = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z$.

в) Исходное уравнение: $2sinx + sin2x = cosx + 1$.
Применим формулу $sin2x = 2sinx \cdot cosx$:
$2sinx + 2sinx \cdot cosx = cosx + 1$
Сгруппируем слагаемые:
$2sinx(1 + cosx) - (1 + cosx) = 0$
Вынесем общий множитель $(1 + cosx)$ за скобки:
$(1 + cosx)(2sinx - 1) = 0$
Получаем два случая:
1) $1 + cosx = 0 \implies cosx = -1 \implies x = \pi + 2\pi n, n \in Z$.
2) $2sinx - 1 = 0 \implies sinx = \frac{1}{2} \implies x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z$.
Решения из второго случая можно записать в виде двух серий: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi m$ и $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m, m \in Z$.
Ответ: $x = \pi + 2\pi n, n \in Z$; $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z$.

г) Исходное уравнение: $cos2x + sin^2x = cosx$.
Применим формулу косинуса двойного угла $cos2x = cos^2x - sin^2x$:
$(cos^2x - sin^2x) + sin^2x = cosx$
$cos^2x = cosx$
$cos^2x - cosx = 0$
Вынесем $cosx$ за скобки:
$cosx(cosx - 1) = 0$
Получаем два случая:
1) $cosx = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$.
2) $cosx - 1 = 0 \implies cosx = 1 \implies x = 2\pi k, k \in Z$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$; $x = 2\pi k, k \in Z$.

д) Исходное уравнение: $cos2x = sinx$.
Применим формулу $cos2x = 1 - 2sin^2x$, чтобы привести уравнение к одной функции:
$1 - 2sin^2x = sinx$
$2sin^2x + sinx - 1 = 0$
Сделаем замену $t = sinx$, где $|t| \le 1$:
$2t^2 + t - 1 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9$.
$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$
Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Возвращаемся к замене:
1) $sinx = \frac{1}{2} \implies x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in Z$.
2) $sinx = -1 \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in Z$.
Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in Z$; $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in Z$.

е) Исходное уравнение: $1 + cos2x = 2cosx$.
Применим формулу понижения степени $1 + cos2x = 2cos^2x$:
$2cos^2x = 2cosx$
$2cos^2x - 2cosx = 0$
Вынесем $2cosx$ за скобки:
$2cosx(cosx - 1) = 0$
Получаем два случая:
1) $2cosx = 0 \implies cosx = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$.
2) $cosx - 1 = 0 \implies cosx = 1 \implies x = 2\pi k, k \in Z$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$; $x = 2\pi k, k \in Z$.