Номер 1.482, страница 148 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.482. Постройте график функции $y = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$.

Для построения графика функции $y = 2\sin(x - \frac{\pi}{6})\cos(x - \frac{\pi}{6})$ необходимо сначала упростить данное выражение.

1. Упрощение функции

Мы можем использовать тригонометрическую формулу синуса двойного угла, которая гласит: $ \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) $.

В данном случае, если мы примем $\alpha = x - \frac{\pi}{6}$, то исходная функция преобразуется следующим образом:

$ y = 2\sin(x - \frac{\pi}{6})\cos(x - \frac{\pi}{6}) = \sin(2(x - \frac{\pi}{6})) $

Раскроем скобки в аргументе синуса:

$ y = \sin(2x - \frac{2\pi}{6}) = \sin(2x - \frac{\pi}{3}) $

Таким образом, задача сводится к построению графика функции $y = \sin(2x - \frac{\pi}{3})$.

2. Анализ свойств функции

График функции $y = \sin(2x - \frac{\pi}{3})$ является преобразованием графика базовой функции $y = \sin(x)$. Проанализируем эти преобразования:

• Амплитуда (A): Это максимальное отклонение функции от оси Ox. Коэффициент перед синусом равен 1. Ответ: Амплитуда равна 1. Область значений функции $E(y) = [-1, 1]$.
• Период (T): Период функции $y = A\sin(kx + b)$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В нашем случае $k=2$. Ответ: $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
• Фазовый сдвиг: Для определения сдвига по горизонтали представим функцию в виде $y = \sin(k(x - b))$. $y = \sin(2x - \frac{\pi}{3}) = \sin(2(x - \frac{\pi}{6}))$. Ответ: График функции $y = \sin(2x)$ сдвинут вправо по оси Ох на $\frac{\pi}{6}$.

3. Пошаговое построение графика

Построение графика можно выполнить в три этапа:

1. Начертить график базовой функции $y = \sin(x)$.
2. Сжать график $y = \sin(x)$ в 2 раза вдоль оси абсцисс (Ox). Это даст нам график функции $y = \sin(2x)$ с периодом $\pi$.
3. Сдвинуть полученный график $y = \sin(2x)$ вправо на $\frac{\pi}{6}$ вдоль оси абсцисс. В результате мы получим искомый график функции $y = \sin(2(x - \frac{\pi}{6}))$.

4. Определение ключевых точек графика

Для точного построения найдем координаты ключевых точек одного периода функции. Один цикл синусоиды начинается, когда ее аргумент равен 0, и заканчивается, когда он равен $2\pi$.

• Начало периода (y=0):

  $2(x - \frac{\pi}{6}) = 0 \implies x - \frac{\pi}{6} = 0 \implies x = \frac{\pi}{6}$

  Ответ: Точка имеет координаты $(\frac{\pi}{6}, 0)$.
• Точка максимума (y=1):

  $2(x - \frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{2} \implies x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{4} \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi + 2\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}$

  Ответ: Точка имеет координаты $(\frac{5\pi}{12}, 1)$.
• Пересечение с осью Ox в середине периода (y=0):

  $2(x - \frac{\pi}{6}) = \pi \implies x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi + \pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$

  Ответ: Точка имеет координаты $(\frac{2\pi}{3}, 0)$.
• Точка минимума (y=-1):

  $2(x - \frac{\pi}{6}) = \frac{3\pi}{2} \implies x - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{4} \implies x = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{6} = \frac{9\pi + 2\pi}{12} = \frac{11\pi}{12}$

  Ответ: Точка имеет координаты $(\frac{11\pi}{12}, -1)$.
• Конец периода (y=0):

  $2(x - \frac{\pi}{6}) = 2\pi \implies x - \frac{\pi}{6} = \pi \implies x = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$

  Ответ: Точка имеет координаты $(\frac{7\pi}{6}, 0)$.

Соединив эти точки плавной линией (синусоидой) и продолжив ее периодически с периодом $\pi$, мы получим график искомой функции.