Номер 1.484, страница 149 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.484. Упростите выражение:

а) $(\sin\alpha - \cos\alpha)^2 - 1 + 4\sin2\alpha;$

б) $(\sin \frac{\alpha}{4} + \cos \frac{\alpha}{4})(\sin \frac{\alpha}{4} - \cos \frac{\alpha}{4});$

В) $(\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{ctg}\alpha) \sin2\alpha;$

Г) $\frac{1 - \operatorname{ctg}^2\alpha \operatorname{tg}\alpha}{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{ctg}\alpha}.$

а) Для упрощения выражения $(\sin\alpha - \cos\alpha)^2 - 1 + 4\sin2\alpha$ сначала раскроем квадрат разности, используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = \sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha$.

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin2\alpha$. Тогда выражение в скобках равно:

$(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) - 2\sin\alpha\cos\alpha = 1 - \sin2\alpha$.

Подставим полученный результат обратно в исходное выражение и выполним упрощение:

$(1 - \sin2\alpha) - 1 + 4\sin2\alpha = 1 - 1 - \sin2\alpha + 4\sin2\alpha = 3\sin2\alpha$.

Ответ: $3\sin2\alpha$.

б) В выражении $(\sin\frac{\alpha}{4} + \cos\frac{\alpha}{4})(\sin\frac{\alpha}{4} - \cos\frac{\alpha}{4})$ мы видим произведение суммы и разности двух выражений, что соответствует формуле разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$.

Применим эту формулу, где $a = \sin\frac{\alpha}{4}$ и $b = \cos\frac{\alpha}{4}$:

$(\sin\frac{\alpha}{4})^2 - (\cos\frac{\alpha}{4})^2 = \sin^2\frac{\alpha}{4} - \cos^2\frac{\alpha}{4}$.

Это выражение похоже на формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = \cos^2x - \sin^2x$. Вынесем минус за скобки, чтобы привести его к стандартному виду:

$-(\cos^2\frac{\alpha}{4} - \sin^2\frac{\alpha}{4})$.

Теперь применим формулу косинуса двойного угла для $x = \frac{\alpha}{4}$:

$-(\cos(2 \cdot \frac{\alpha}{4})) = -\cos\frac{\alpha}{2}$.

Ответ: $-\cos\frac{\alpha}{2}$.

в) Рассмотрим выражение $(\text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha) \sin2\alpha$. Упростим сумму в скобках, выразив тангенс и котангенс через синус и косинус:

$\text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $\sin\alpha\cos\alpha$:

$\frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}$.

Используя $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем $\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$.

Теперь умножим результат на $\sin2\alpha$. По формуле синуса двойного угла $\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

$\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha} \cdot (2\sin\alpha\cos\alpha) = 2$.

Ответ: $2$.

г) Для упрощения дроби $\frac{1 - \text{ctg}2\alpha \cdot \text{tg}\alpha}{\text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha}$ преобразуем числитель и знаменатель по отдельности.

Знаменатель (как и в пункте в)):

$\text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$.

Числитель:

$1 - \text{ctg}2\alpha \cdot \text{tg}\alpha = 1 - \frac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha} \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\sin2\alpha\cos\alpha - \cos2\alpha\sin\alpha}{\sin2\alpha\cos\alpha}$.

В числителе полученной дроби используем формулу синуса разности $\sin(A-B) = \sin A\cos B - \cos A\sin B$:

$\sin2\alpha\cos\alpha - \cos2\alpha\sin\alpha = \sin(2\alpha - \alpha) = \sin\alpha$.

Таким образом, числитель исходного выражения равен $\frac{\sin\alpha}{\sin2\alpha\cos\alpha}$.

Теперь разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:

$\frac{\frac{\sin\alpha}{\sin2\alpha\cos\alpha}}{\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}} = \frac{\sin\alpha}{\sin2\alpha\cos\alpha} \cdot \frac{\sin\alpha\cos\alpha}{1} = \frac{\sin^2\alpha}{\sin2\alpha}$.

Используя формулу $\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$, получаем:

$\frac{\sin^2\alpha}{2\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha}{2\cos\alpha} = \frac{1}{2}\text{tg}\alpha$.

Ответ: $\frac{1}{2}\text{tg}\alpha$.