Номер 1.485, страница 149 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.485. Найдите значение выражения:

а) $(\sin 75^{\circ} - \cos 75^{\circ})^2$;

б) $\frac{\sin 15^{\circ}}{\sin 5^{\circ}} - \frac{\cos 15^{\circ}}{\cos 5^{\circ}} $;

в) $\operatorname{tg} \frac{\pi}{8} - \operatorname{ctg} \frac{\pi}{8} $;

г) $\sin 75^{\circ} \sin 15^{\circ}$.

а) Для нахождения значения выражения $(\sin 75^\circ - \cos 75^\circ)^2$ воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(\sin 75^\circ - \cos 75^\circ)^2 = \sin^2 75^\circ - 2\sin 75^\circ \cos 75^\circ + \cos^2 75^\circ$

Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$:

$(\sin^2 75^\circ + \cos^2 75^\circ) - 2\sin 75^\circ \cos 75^\circ = 1 - \sin(2 \cdot 75^\circ) = 1 - \sin 150^\circ$

Значение $\sin 150^\circ$ можно найти с помощью формулы приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$:

$\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

Подставим найденное значение в выражение:

$1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Ответ: $1/2$

б) Чтобы найти значение выражения $\frac{\sin 15^\circ}{\sin 5^\circ} - \frac{\cos 15^\circ}{\cos 5^\circ}$, приведем дроби к общему знаменателю $\sin 5^\circ \cos 5^\circ$.

$\frac{\sin 15^\circ \cos 5^\circ - \cos 15^\circ \sin 5^\circ}{\sin 5^\circ \cos 5^\circ}$

В числителе используем формулу синуса разности углов $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$:

$\sin 15^\circ \cos 5^\circ - \cos 15^\circ \sin 5^\circ = \sin(15^\circ - 5^\circ) = \sin 10^\circ$

В знаменателе используем формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin 2\alpha$, из которой следует, что $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin 2\alpha$:

$\sin 5^\circ \cos 5^\circ = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 5^\circ) = \frac{1}{2}\sin 10^\circ$

Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь:

$\frac{\sin 10^\circ}{\frac{1}{2}\sin 10^\circ} = 2$

Ответ: 2

в) Для вычисления $\tg\frac{\pi}{8} - \ctg\frac{\pi}{8}$ представим тангенс и котангенс через синус и косинус.

$\tg\frac{\pi}{8} - \ctg\frac{\pi}{8} = \frac{\sin(\pi/8)}{\cos(\pi/8)} - \frac{\cos(\pi/8)}{\sin(\pi/8)}$

Приведем к общему знаменателю $\sin(\pi/8)\cos(\pi/8)$:

$\frac{\sin^2(\pi/8) - \cos^2(\pi/8)}{\sin(\pi/8)\cos(\pi/8)} = \frac{-(\cos^2(\pi/8) - \sin^2(\pi/8))}{\sin(\pi/8)\cos(\pi/8)}$

В числителе узнаем формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$, а в знаменателе — часть формулы синуса двойного угла $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin 2\alpha$.

$\frac{-\cos(2 \cdot \pi/8)}{\frac{1}{2}\sin(2 \cdot \pi/8)} = \frac{-\cos(\pi/4)}{\frac{1}{2}\sin(\pi/4)} = -2 \frac{\cos(\pi/4)}{\sin(\pi/4)} = -2\ctg(\pi/4)$

Так как $\ctg(\pi/4) = 1$, получаем:

$-2 \cdot 1 = -2$

Ответ: -2

г) Чтобы найти значение произведения $\sin 75^\circ \sin 15^\circ$, воспользуемся формулой приведения $\sin\alpha = \cos(90^\circ - \alpha)$.

$\sin 75^\circ = \sin(90^\circ - 15^\circ) = \cos 15^\circ$

Подставим это в исходное выражение:

$\sin 75^\circ \sin 15^\circ = \cos 15^\circ \sin 15^\circ$

Теперь применим формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$, из которой $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin 2\alpha$:

$\cos 15^\circ \sin 15^\circ = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 15^\circ) = \frac{1}{2}\sin 30^\circ$

Зная, что $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, вычисляем результат:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

Ответ: $1/4$