Номер 1.492, страница 149 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.492. Докажите, что значение выражения $ \frac{2\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)\sin(\pi - \alpha) + \cos2\alpha - 1}{\cos2\alpha + \sin\alpha \cos\alpha - \cos^2\alpha} $ не зависит от $ \alpha $.

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от $\alpha$, необходимо его упростить. Преобразуем числитель и знаменатель дроби по отдельности.

1. Упрощение числителя

Числитель исходного выражения: $2\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha)\sin(\pi - \alpha) + \cos(2\alpha) - 1$.

Воспользуемся формулами приведения:

• $\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos\alpha$
• $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$

Подставив эти значения, выражение для числителя примет вид:

Далее применим формулы двойного угла. Используем $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$ и $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$:

Вынесем за скобки общий множитель $2\sin\alpha$:

2. Упрощение знаменателя

Знаменатель исходного выражения: $\cos(2\alpha) + \sin\alpha\cos\alpha - \cos^2\alpha$.

Применим формулу двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$:

После приведения подобных слагаемых ($\cos^2\alpha$ и $-\cos^2\alpha$ взаимно уничтожаются) выражение упрощается до:

Вынесем за скобки общий множитель $\sin\alpha$:

3. Итоговое выражение

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходную дробь:

При условии, что знаменатель $\sin\alpha(\cos\alpha - \sin\alpha) \neq 0$, мы можем сократить дробь на этот общий множитель. В результате получаем:

Таким образом, значение выражения равно 2, что является постоянной величиной и не зависит от $\alpha$. Утверждение доказано.

Ответ: 2