Номер 1.488, страница 149 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.488. Найдите $ \sin 2\alpha $, если известно, что $ \sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{2} $.

Для того чтобы найти значение $ \sin(2\alpha) $, имея уравнение $ \sin\alpha + \cos\alpha = \frac{1}{2} $, мы можем возвести обе части этого уравнения в квадрат. Этот прием позволит нам использовать основное тригонометрическое тождество и формулу синуса двойного угла.

Начнем с исходного уравнения: $$ \sin\alpha + \cos\alpha = \frac{1}{2} $$
Возведем обе части в квадрат: $$ (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 $$
Раскроем левую часть по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $$ \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = \frac{1}{4} $$
Сгруппируем слагаемые $ \sin^2\alpha $ и $ \cos^2\alpha $. Согласно основному тригонометрическому тождеству, их сумма равна единице: $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.
$$ (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 2\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{4} $$ $$ 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{4} $$
Теперь воспользуемся формулой синуса двойного угла, которая гласит: $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $. Подставим ее в наше уравнение: $$ 1 + \sin(2\alpha) = \frac{1}{4} $$
Осталось выразить и вычислить $ \sin(2\alpha) $: $$ \sin(2\alpha) = \frac{1}{4} - 1 $$ $$ \sin(2\alpha) = \frac{1}{4} - \frac{4}{4} $$ $$ \sin(2\alpha) = -\frac{3}{4} $$

Ответ: $-\frac{3}{4}$