Номер 1.495, страница 149 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.495. Найдите значение выражения:

a) $\frac{4\sin 25^\circ \sin 65^\circ}{\cos 40^\circ}$;

б) $\frac{10\cos 10^\circ}{\sin 40^\circ \sin 230^\circ}$;

В)* $\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ$.

a) $\frac{4\sin25^\circ\sin65^\circ}{\cos40^\circ}$

Для решения воспользуемся формулой произведения синусов: $ \sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)) $.

Преобразуем числитель выражения, положив $\alpha = 65^\circ$ и $\beta = 25^\circ$:

$ 4\sin25^\circ\sin65^\circ = 4 \cdot \frac{1}{2}(\cos(65^\circ-25^\circ) - \cos(65^\circ+25^\circ)) = 2(\cos40^\circ - \cos90^\circ) $

Так как $\cos90^\circ = 0$, получаем:

$ 2(\cos40^\circ - 0) = 2\cos40^\circ $

Теперь подставим полученное выражение обратно в дробь:

$ \frac{2\cos40^\circ}{\cos40^\circ} = 2 $

Ответ: 2

б) $\frac{10\cos10^\circ}{\sin40^\circ\sin230^\circ}$

Сначала упростим $\sin230^\circ$, используя формулы приведения:

$ \sin230^\circ = \sin(180^\circ + 50^\circ) = -\sin50^\circ $

Подставим это в исходное выражение:

$ \frac{10\cos10^\circ}{\sin40^\circ(-\sin50^\circ)} = -\frac{10\cos10^\circ}{\sin40^\circ\sin50^\circ} $

Воспользуемся формулой приведения для $\sin50^\circ$ (формула кофункции):

$ \sin50^\circ = \sin(90^\circ - 40^\circ) = \cos40^\circ $

Выражение принимает вид:

$ -\frac{10\cos10^\circ}{\sin40^\circ\cos40^\circ} $

Применим формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $, из которой следует, что $ \sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha) $:

$ \sin40^\circ\cos40^\circ = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 40^\circ) = \frac{1}{2}\sin80^\circ $

Подставим в знаменатель:

$ -\frac{10\cos10^\circ}{\frac{1}{2}\sin80^\circ} = -\frac{20\cos10^\circ}{\sin80^\circ} $

Снова используем формулу приведения для $\sin80^\circ$:

$ \sin80^\circ = \sin(90^\circ - 10^\circ) = \cos10^\circ $

Окончательно получаем:

$ -\frac{20\cos10^\circ}{\cos10^\circ} = -20 $

Ответ: -20

в)* $\cos20^\circ\cos40^\circ\cos80^\circ$

Обозначим данное выражение как $P$. Умножим и разделим его на $2\sin20^\circ$ (при условии, что $\sin20^\circ \neq 0$, что является верным):

$ P = \frac{2\sin20^\circ\cos20^\circ\cos40^\circ\cos80^\circ}{2\sin20^\circ} $

Последовательно применяем формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $.

1. В числителе $2\sin20^\circ\cos20^\circ = \sin(2 \cdot 20^\circ) = \sin40^\circ$.

$ P = \frac{\sin40^\circ\cos40^\circ\cos80^\circ}{2\sin20^\circ} $

2. Умножим числитель и знаменатель на 2, чтобы снова применить формулу:

$ P = \frac{2\sin40^\circ\cos40^\circ\cos80^\circ}{4\sin20^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 40^\circ)\cos80^\circ}{4\sin20^\circ} = \frac{\sin80^\circ\cos80^\circ}{4\sin20^\circ} $

3. Повторим операцию:

$ P = \frac{2\sin80^\circ\cos80^\circ}{8\sin20^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 80^\circ)}{8\sin20^\circ} = \frac{\sin160^\circ}{8\sin20^\circ} $

Теперь воспользуемся формулой приведения $ \sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha $:

$ \sin160^\circ = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin20^\circ $

Подставляем это значение в выражение для $P$:

$ P = \frac{\sin20^\circ}{8\sin20^\circ} = \frac{1}{8} $

Ответ: $\frac{1}{8}$