Номер 1.497, страница 150 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.497. Найдите значение выражения:

а) $2\sin 22.5^\circ \cos 22.5^\circ$;

б) $\cos^2 75^\circ - \sin^2 75^\circ$;

В) $\frac{2\operatorname{tg}\frac{\pi}{8}}{1-\operatorname{tg}^2\frac{\pi}{8}}$.

а) Для нахождения значения выражения $2\sin 22,5^\circ \cos 22,5^\circ$ воспользуемся формулой синуса двойного угла: $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $.
В данном случае $\alpha = 22,5^\circ$.
Подставим значение в формулу:
$ 2\sin 22,5^\circ \cos 22,5^\circ = \sin(2 \cdot 22,5^\circ) = \sin(45^\circ) $.
Значение синуса $45^\circ$ является табличным: $ \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

б) Для нахождения значения выражения $\cos^2 75^\circ - \sin^2 75^\circ$ воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $.
В данном случае $\alpha = 75^\circ$.
Подставим значение в формулу:
$ \cos^2 75^\circ - \sin^2 75^\circ = \cos(2 \cdot 75^\circ) = \cos(150^\circ) $.
Чтобы найти значение $\cos(150^\circ)$, применим формулу приведения: $ \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha $.
$ \cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ) $.
Значение косинуса $30^\circ$ является табличным: $ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Следовательно, $ \cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

в) Для нахождения значения выражения $\frac{2\operatorname{tg}\frac{\pi}{8}}{1 - \operatorname{tg}^2\frac{\pi}{8}}$ воспользуемся формулой тангенса двойного угла: $ \operatorname{tg}(2\alpha) = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} $.
В данном случае $\alpha = \frac{\pi}{8}$.
Подставим значение в формулу:
$ \frac{2\operatorname{tg}\frac{\pi}{8}}{1 - \operatorname{tg}^2\frac{\pi}{8}} = \operatorname{tg}(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = \operatorname{tg}(\frac{2\pi}{8}) = \operatorname{tg}(\frac{\pi}{4}) $.
Значение тангенса $\frac{\pi}{4}$ (что соответствует $45^\circ$) является табличным: $ \operatorname{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1 $.
Ответ: 1.