Номер 1.504, страница 151 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.504. Постройте график функции $y = \sin^2 \frac{x}{2} - \cos^2 \frac{x}{2}$.

Для построения графика функции $y = \sin^2\frac{x}{2} - \cos^2\frac{x}{2}$ необходимо сначала упростить данное тригонометрическое выражение.

Мы можем использовать формулу косинуса двойного угла, которая имеет вид: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

Для приведения нашего выражения к этой формуле, вынесем знак минус за скобки:

$y = \sin^2\frac{x}{2} - \cos^2\frac{x}{2} = -(\cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2})$

В данном случае, аргумент $\alpha = \frac{x}{2}$. Тогда двойной угол будет равен $2\alpha = 2 \cdot \frac{x}{2} = x$.

Применяя формулу косинуса двойного угла, получаем:

$y = -(\cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2}) = -\cos(x)$

Таким образом, исходная функция тождественно равна функции $y = -\cos(x)$. Нам нужно построить график этой функции.

График функции $y = -\cos(x)$ можно построить, взяв за основу график стандартной функции $y = \cos(x)$ и выполнив его симметричное отражение относительно оси абсцисс (оси Ox).

Свойства функции $y = -\cos(x)$

• Область определения: Все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: Отрезок $[-1; 1]$, $E(y) = [-1; 1]$.
• Периодичность: Функция является периодической с наименьшим положительным периодом $T = 2\pi$. Это означает, что $y(x+2\pi) = y(x)$.
• Четность: Функция является четной, так как $y(-x) = -\cos(-x) = -\cos(x) = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).
• Нули функции (точки пересечения с осью Ox): $y = 0$ при $-\cos(x) = 0$, то есть $\cos(x) = 0$. Это происходит при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Точки максимума: $y_{max} = 1$ достигается, когда $\cos(x) = -1$. Это происходит при $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Точки минимума: $y_{min} = -1$ достигается, когда $\cos(x) = 1$. Это происходит при $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Построение графика

Для построения графика найдем значения функции в нескольких ключевых точках на отрезке $[0, 2\pi]$:

• При $x=0$, $y = -\cos(0) = -1$. Точка $(0, -1)$.
• При $x=\frac{\pi}{2}$, $y = -\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$. Точка $(\frac{\pi}{2}, 0)$.
• При $x=\pi$, $y = -\cos(\pi) = -(-1) = 1$. Точка $(\pi, 1)$.
• При $x=\frac{3\pi}{2}$, $y = -\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$. Точка $(\frac{3\pi}{2}, 0)$.
• При $x=2\pi$, $y = -\cos(2\pi) = -1$. Точка $(2\pi, -1)$.

Соединив эти точки плавной линией и продолжив ее периодически влево и вправо, мы получим искомый график — косинусоиду, отраженную относительно оси Ox.

График функции $y = \sin^2\frac{x}{2} - \cos^2\frac{x}{2}$ (то есть $y = -\cos x$):