Номер 1.505, страница 151 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

a) $(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 + 1 - \sin 2\alpha$

Для упрощения данного выражения раскроем квадрат суммы и воспользуемся тригонометрическими тождествами.

1. Раскроем скобки по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha$

2. Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 2\sin\alpha\cos\alpha = 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha$

3. Теперь используем формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$:

$1 + 2\sin\alpha\cos\alpha = 1 + \sin 2\alpha$

4. Подставим полученный результат в исходное выражение:

$(1 + \sin 2\alpha) + 1 - \sin 2\alpha = 1 + 1 + \sin 2\alpha - \sin 2\alpha = 2$

Ответ: 2

б) $\frac{1 + \cos 2\alpha}{1 - \cos 2\alpha}$

Для упрощения этой дроби применим формулы косинуса двойного угла, выраженные через косинус и синус половинного угла.

1. Для числителя используем формулу $1 + \cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha$. Она следует из формулы $\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$.

2. Для знаменателя используем формулу $1 - \cos 2\alpha = 2\sin^2\alpha$. Она следует из формулы $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$.

3. Подставим эти выражения в исходную дробь:

$\frac{1 + \cos 2\alpha}{1 - \cos 2\alpha} = \frac{2\cos^2\alpha}{2\sin^2\alpha}$

4. Сократим общий множитель 2:

$\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}$

5. По определению котангенса $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, полученное выражение равно квадрату котангенса:

$\left(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\right)^2 = \operatorname{ctg}^2\alpha$

Ответ: $\operatorname{ctg}^2\alpha$

в) $\operatorname{ctg}\alpha \sin 2\alpha - \cos 2\alpha$

Упростим выражение, представив котангенс через синус и косинус и применив формулы двойного угла.

1. Заменим $\operatorname{ctg}\alpha$ на $\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ и $\sin 2\alpha$ на $2\sin\alpha\cos\alpha$:

$\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot (2\sin\alpha\cos\alpha) - \cos 2\alpha$

2. Сократим $\sin\alpha$ в первом члене (при условии, что $\sin\alpha \neq 0$, что необходимо для существования $\operatorname{ctg}\alpha$):

$2\cos\alpha \cdot \cos\alpha - \cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - \cos 2\alpha$

3. Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$:

$2\cos^2\alpha - (2\cos^2\alpha - 1)$

4. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2\cos^2\alpha - 2\cos^2\alpha + 1 = 1$

Ответ: 1