Номер 1.506, страница 151 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.506. Найдите значение выражения:

а) $\operatorname{tg} 15^\circ + \operatorname{ctg} 15^\circ$;

б) $\sin^4 15^\circ - \cos^4 15^\circ$.

а) Для нахождения значения выражения $\text{tg } 15^\circ + \text{ctg } 15^\circ$, воспользуемся основными тригонометрическими тождествами.

1. Представим тангенс и котангенс через синус и косинус:
$\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
$\text{ctg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$

Подставим эти определения в исходное выражение:
$\text{tg } 15^\circ + \text{ctg } 15^\circ = \frac{\sin 15^\circ}{\cos 15^\circ} + \frac{\cos 15^\circ}{\sin 15^\circ}$

2. Приведем дроби к общему знаменателю $\sin 15^\circ \cos 15^\circ$:
$\frac{\sin^2 15^\circ + \cos^2 15^\circ}{\sin 15^\circ \cos 15^\circ}$

3. В числителе используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:
$\frac{1}{\sin 15^\circ \cos 15^\circ}$

4. В знаменателе используем формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$, из которой следует, что $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{\sin 2\alpha}{2}$:
$\sin 15^\circ \cos 15^\circ = \frac{\sin (2 \cdot 15^\circ)}{2} = \frac{\sin 30^\circ}{2}$

5. Подставим значение знаменателя обратно в выражение:
$\frac{1}{\frac{\sin 30^\circ}{2}} = \frac{2}{\sin 30^\circ}$

6. Зная, что $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, находим окончательное значение:
$\frac{2}{\frac{1}{2}} = 2 \cdot 2 = 4$

Ответ: 4.

б) Для нахождения значения выражения $\sin^4 15^\circ - \cos^4 15^\circ$, применим формулу разности квадратов.

1. Представим выражение в виде $(a^2)^2 - (b^2)^2$, где $a = \sin 15^\circ$ и $b = \cos 15^\circ$. Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$\sin^4 15^\circ - \cos^4 15^\circ = (\sin^2 15^\circ - \cos^2 15^\circ)(\sin^2 15^\circ + \cos^2 15^\circ)$

2. Второй множитель, согласно основному тригонометрическому тождеству, равен единице:
$\sin^2 15^\circ + \cos^2 15^\circ = 1$

3. Таким образом, выражение упрощается до:
$(\sin^2 15^\circ - \cos^2 15^\circ) \cdot 1 = \sin^2 15^\circ - \cos^2 15^\circ$

4. Вынесем минус за скобки, чтобы получить формулу косинуса двойного угла:
$-(\cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ)$

5. Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$:
$-(\cos(2 \cdot 15^\circ)) = -\cos 30^\circ$

6. Зная, что $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем окончательный результат:
$-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.