Номер 1.501, страница 150 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.501. Докажите тождество:

a) $(\sin \alpha + \cos\alpha)^2 - \sin 2\alpha = 1;$

б) $2\cos^2 2\alpha - \cos 4\alpha = 1;$

в) $\frac{2\cos^2 \alpha \operatorname{tg}\alpha}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha} = -\operatorname{tg} 2\alpha.$

а) Докажем тождество $(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 - \sin 2\alpha = 1$.

Преобразуем левую часть равенства. Для начала раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha$

Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$:

$(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 2\sin\alpha\cos\alpha = 1 + \sin 2\alpha$

Теперь подставим полученное выражение в левую часть исходного тождества:

$(1 + \sin 2\alpha) - \sin 2\alpha = 1 + \sin 2\alpha - \sin 2\alpha = 1$

В результате преобразований мы получили, что левая часть равна правой части: $1 = 1$. Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

б) Докажем тождество $2\cos^2 2\alpha - \cos 4\alpha = 1$.

Преобразуем левую часть равенства. Используем формулу косинуса двойного угла в виде $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$. Представим $\cos 4\alpha$ как $\cos(2 \cdot 2\alpha)$. В нашем случае $x = 2\alpha$.

Тогда $\cos 4\alpha = 2\cos^2 2\alpha - 1$.

Подставим это выражение в левую часть исходного тождества:

$2\cos^2 2\alpha - (2\cos^2 2\alpha - 1) = 2\cos^2 2\alpha - 2\cos^2 2\alpha + 1 = 1$

В результате левая часть равна $1$, что соответствует правой части ($1=1$). Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

в) Докажем тождество $\frac{2\cos^2\alpha \operatorname{tg}\alpha}{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha} = -\operatorname{tg} 2\alpha$.

Преобразуем левую часть равенства. Начнем с числителя. Используем определение тангенса $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$:

$2\cos^2\alpha \operatorname{tg}\alpha = 2\cos^2\alpha \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2\sin\alpha\cos\alpha$

Это выражение является формулой синуса двойного угла: $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin 2\alpha$.

Теперь преобразуем знаменатель. Он похож на формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$. Вынесем минус за скобки:

$\sin^2\alpha - \cos^2\alpha = -(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha) = -\cos 2\alpha$

Подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$\frac{\sin 2\alpha}{-\cos 2\alpha} = -\frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}$

Используя определение тангенса $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$ для угла $2\alpha$, получаем:

$-\frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = -\operatorname{tg} 2\alpha$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.